10. Granica ciągu

Tresci kształcenia. Ciągi liczbowe: granice właściwe i niewłaściwe. Zbieżność i arytmetyka granic. Ciągi monotoniczne. Podciągi, punkty skupienia i tw. Bolzano-Weierstrassa. Warunek Cauchy’ego i zupełność. Pozostałe informacje o zbieżności ciągów. Symbole Landaua i obliczanie granic z nimi związanych.

Efekty kształcenia. Student potrafi wprawnie posługiwać się pojęciem granicy ciągu oraz sprawdzać wykonalność obliczeń na komputerze. Zna podstawowe metody obliczania granic.

Obliczanie granic wybranych ciągów liczbowych

Podczas poprzednich zajęć wprowadziliśmy pojęcie granicy ciągu i pokazaliśmy wprost z definicji, że

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0. \]

Teraz dowiemy się jak można obliczyć granicę rozmaitych ciągów. By to zrobić musimy najpierw poznać przykłady ciągów zbieżnych a nastepnie zobaczyć jakie są arytmetyczne własności granicy.

Przykłady ciągów zbieżnych

Twierdzenie

1. Dla dowolnego \(\alpha > 0\)

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^\alpha}=0. \]

1. Dla dowolnego \(|a| < 1\)

\[ \lim_{n\to\infty} a^n=0. \]

1. Dla dowolnego \(a > 0\)

\[ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a}=1. \]

1. Mamy

\[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1. \]

Arytmetyczne własności granicy

Twierdzenie

Niech \((a_n)\) i \((b_n)\) będą ciągami zbieżnymi takimi, że \(\displaystyle\lim_{n\to_\infty}a_n=A\) i \(\displaystyle\lim_{n\to_\infty}b_n=B\). Wtedy:

• \(\displaystyle\lim_{n\to_\infty}c\cdot a_n=c\cdot A\) dla dowolnego \(c\in\mathbb{R}\);

• \(\displaystyle\lim_{n\to_\infty}(a_n+b_n)=A+B\);

• \(\displaystyle\lim_{n\to_\infty}(a_n-b_n)=A-B\);

• \(\displaystyle\lim_{n\to_\infty}(a_n\cdot b_n)=A\cdot B\).

Ponadto jeżeli \(B\not=0\) i \(b_n\not=0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\), to

• \(\displaystyle\lim_{n\to_\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}\).

Przykłady

1. Obliczymy granicę ciągu

\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]

Mamy

\[ a_n=\frac{n}{n+1}=\frac{\frac{n}{n}}{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}=\frac{1}{1+\frac{1}{n}}. \]

Ponieważ

\[ \lim_{n\to\infty} 1=1 \text{ oraz } \lim_{n\to\infty}1+\frac{1}{n}=1, \]

to

\[ \lim_{n\to\infty}a_n=1. \]

1. Obliczymy granicę ciągu

\[ a_n=\frac{n^3+n^2}{4n^3+ 14n}. \]

Dzieląc licznik i mianownik przez \(n^3\) otrzymujemy, że

\[ a_n= \frac{n^3+n^2}{4n^3+ 14n}=\frac{1+\frac{1}{n}}{3+\frac{14}{n^2}}. \]

Ponieważ

\[ \lim_{n\to\infty}1+\frac{1}{n}=1 \text{ oraz } \lim_{n\to\infty}3+\frac{14}{n^2}=3, \]

to

\[ \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{3}. \]

1. Obliczymy granicę ciągu

\[ a_n=\frac{n^2}{n^4+1}. \]

Dzieląc licznik i mianownik przez \(n^4\) dostajemy, że

\[ a_n= \frac{n^2}{n^4+1}=\frac{\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n^4}} \]

Ponieważ

\[ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2}=0 \text{ oraz } \lim_{n\to\infty}1+\frac{1}{n^4}=1, \]

to

\[ \lim_{n\to\infty}a_n=0. \]

1. Obliczymy granicę ciągu

\[ a_n=\frac{25^n+3^n}{5^{2n+1}+4^n}. \]

Dzieląc licznik i mianownik przez \(25^n\) dostajemy, że

\[ a_n=\frac{25^n+3^n}{5^{2n+1}+4^n}=\frac{1+\left(\frac{3}{25}\right)^n}{5+\left(\frac{4}{25}\right)^n}. \]

Ponieważ

\[ \lim_{n\to\infty} 1+\left(\frac{3}{25}\right)^n=1 \text{ oraz } \lim_{n\to\infty}5+\left(\frac{4}{25}\right)^n=5, \]

to

\[ \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{5}. \]

1. Obliczymy granicę ciągu

\[ a_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}. \]

By to zrobić skorzystamy z następującego faktu:

Fakt

Niech \((a_n)\) będzie ciągiem liczb nieujemnych zbieżnym do \(g\). Wtedy ciąg \((\sqrt{a_n})\) jest zbieżny do \(\sqrt{g}\).

Dzieląc licznik i mianownik przez \(n\) otrzymujemy, że

\[ a_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}. \]

Ponieważ

\[ \lim_{n\to\infty} 1=1 \text{ oraz } \lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}=1, \]

to

\[ \lim_{n\to\infty}a_n=1. \]

1. Obliczymy granicę ciągu

\[ a_n=\sqrt{n^2+4n+1}-n. \]

Mamy

\[ a_n=\sqrt{n^2+4n+1}-n=(\sqrt{n^2+4n+1}-n)\cdot \frac{\sqrt{n^2+4n+1}+n}{\sqrt{n^2+4n+1}+n}= \frac{4n+1}{\sqrt{n^2+4n+1}+n}=\frac{4+\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}+1}. \]

Ponieważ

\[ \lim_{n\to\infty} 4+\frac{1}{n}=4 \text{ oraz } \lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}+1=2, \]

to

\[ \lim_{n\to\infty}a_n=2. \]

Przykłady do samodzielnego rozwiązania

1. Oblicz granice nastepujących ciągów:

\[ a_n=\frac{n+1}{n+2},\quad b_n=\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{1}{k+1}\right),\quad c_n=\frac{17n}{\sqrt{n^2+3n+2}},\quad d_n= \frac{n^2+3n+1}{4n^2+2}, \quad e_n=\frac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+3)!},\quad f_n=\frac{(2n+1)^2}{-3n^2+3}. \]

1. Oblicz granice ciągów:

\[ a_n=\frac{2^n+3^n}{3^n+1},\quad b_n=\frac{2^n+3^n}{4^n+1},\quad c_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n},\quad d_n= \sqrt{n^2+9n}-\sqrt{n^2+6n}, \quad e_n=\frac{\sqrt[3]{8^{n+1}+3}}{2^n+1}. \]

Twierdzenie o trzech ciągach

Poznany teraz niezwykle użyteczne twierdzenie pozwalające obliczyć granicę skomplikowanych ciągów.

Twierdzenie

Niech \((a_n)\), \((b_n)\) i \(c_n\) będą ciągami takimi, że

\[ a_n\leq b_b\leq c_n \text{ dla }n\in\mathbb{N}. \]

Jeśli

\[ \lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} c_n=g, \]

to

\[ \lim_{n\to\infty} b_n=g. \]

Przykłady

1. Obliczymy granicę ciągu

\[ a_n=\sqrt[n]{2^n+3^n+5^n}. \]

Dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) mamy

\[ 5=\sqrt[n]{5^n}\leq \sqrt[n]{2^n+3^n+5^n}\leq \sqrt[n]{5^n+5^n+5^n}=5\sqrt[n]{3}. \]

Ponieważ

\[ \lim_{n\to\infty} 5=5 \text{ oraz } \lim_{n\to\infty}=5\sqrt[n]{3}=5, \]

to na mocy twierdzenia o trzech ciagach otrzymujemy, że

\[ \lim_{n\to\infty}a_n=5. \]

1. Obliczymy granicę ciągu

\[ a_n= \frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\ldots+\frac{1}{n^2+n}. \]

Dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) mamy

\[ 0\leq \frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\ldots+\frac{1}{n^2+n}\leq \frac{n}{n^2+1}. \]

Ponieważ

\[ \lim_{n\to\infty} 0=0 \text{ oraz } \lim_{n\to\infty}=\frac{n}{n^2+1}=0, \]

to na mocy twierdzenia o trzech ciagach otrzymujemy, że

\[ \lim_{n\to\infty}a_n=0. \]

1. Obliczymy granicę ciągu

\[ a_n= \frac{n}{n^2+1}\sin\left(\frac{13n!}{4 \ln(n+3)}\right). \]

Dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) mamy

\[ -\frac{n}{n^2+1}\leq\frac{n}{n^2+1}\sin\left(\frac{13n!}{4 \ln(n+3)}\right)\leq +\frac{n}{n^2+1}. \]

Ponieważ

\[ \lim_{n\to\infty} -\frac{n}{n^2+1}=0 \text{ oraz } \lim_{n\to\infty}=\frac{n}{n^2+1}=0, \]

to na mocy twierdzenia o trzech ciagach otrzymujemy, że

\[ \lim_{n\to\infty}a_n=0. \]

Przykłady do samodzielnego rozwiązania

Oblicz granice nastepujących ciągów:

\[ a_n=\sqrt[n]{1+3^n+4^n},\quad b_n=\sqrt[n]{3+\sin n },\quad c_n=\frac{(0,9)^n}{n+1}. \]

Pewne kryterium zbieżności do zera

Fakt

Niech \((a_n)\) będzie ciągiem o wyrazach niezerowych takim, że

\[ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|= q < 1. \]

Wtedy ciąg \((a_n)\) jest zbieżny do zera.

Przykład

Pokażemy, ze ciąg

\[ a_n=\frac{n^2}{2^n} \]

jest zbiezny do zera. W tym celu skorzystamy z powyższego faktu. Mamy

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2}{n^2}\cdot \frac{2^n}{n^2}=\frac{n^2+2n+1}{2n^2}. \]

Zatem

\[ \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1}{2}. \]

To daje, że ciąg \((a_n)\) jest zbieżny do zera.

Ciągi rozbieżne do \(+\infty\)

Definicja

Ciąg \((a_n)\) nazywamy rozbieżnym do \(+\infty\), gdy dla każdego \(M > 0\) istnieje takie \(N\), że dla każdego \(n\geq N\) mamy

\[ a_n\geq M. \]

Piszemy wtedy, że \(\displaystyle\lim_{n\to_\infty}a_n=\infty\) lub \(a_n\xrightarrow{n\to\infty}\infty\).

Uwaga: używając symloli logicznych można powyższą definicję wyrazić następująco:

\[ \lim_{n\to_\infty}a_n=\infty \Leftrightarrow \forall_{M > 0}\exists_{N}\forall_{n\geq N} a_n\geq M. \]

Przykład

Pokażemy wprost z definicji, że

\[ \lim_{n\to\infty} n^2+n=\infty. \]

Niech zatem \(M > 0\). Zauważmy, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq M\) mamy

\[ a_n=n^2+n > n\geq M. \]

To pokazuje, że ciąg \(a_n\) jest rozbieżny do \(+\infty\).

Fakt

Niech \((a_n)\) będzie ciągiem takim, że \(a_n > 0\) dla wszystkich \(n\). Wtedy

\[ \lim_{n\to\infty}a_n=\infty \Leftrightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=0. \]

Przykład

Ponieważ wyrazy ciągu \(a_n\) są dodatnie i

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{n^3+15}{n^4+n^2+7}=0, \]

to

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{n^4+n^2+7}{n^3+15}=\infty. \]

Ciągi rozbieżne do \(-\infty\)

Definicja

Ciąg \((a_n)\) nazywamy rozbieżnym do \(-\infty\), gdy dla każdego \(M > 0\) istnieje takie \(N\), że dla każdego \(n\geq N\) mamy

\[ a_n\leq -M. \]

Piszemy wtedy, że \(\displaystyle\lim_{n\to_\infty}a_n=-\infty\) lub \(a_n\xrightarrow{n\to\infty}-\infty\).

Uwaga: używając symloli logicznych można powyższą definicję wyrazić następująco:

\[ \lim_{n\to_\infty}a_n=\infty \Leftrightarrow \forall_{M > 0}\exists_{N}\forall_{n\geq N} a_n\leq -M. \]

Fakt

Niech \((a_n)\) będzie ciągiem takim, że \(a_n < 0\) dla wszystkich \(n\). Wtedy

\[ \lim_{n\to\infty}a_n=-\infty \Leftrightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=0. \]

Przykład

Ponieważ wyrazy ciągu \((a_n)\) są ujemne i

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{-n^2}{n^4+1}=0, \]

to

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{n^4+1}{-n^2}=-\infty. \]

Literatura

• W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach 1