10. Granica ciągu
Treści kształcenia. Ciągi liczbowe: granice właściwe i niewłaściwe. Zbieżność i arytmetyka granic. Ciągi monotoniczne. Podciągi, punkty skupienia i tw. Bolzano-Weierstrassa. Warunek Cauchy’ego i zupełność. Pozostałe informacje o zbieżności ciągów. Symbole Landaua i obliczanie granic z nimi związanych.
Efekty kształcenia. Student potrafi wprawnie posługiwać się pojęciem granicy ciągu oraz sprawdzać wykonalność obliczeń na komputerze. Zna podstawowe metody obliczania granic.
Obliczanie granic wybranych ciągów liczbowych ¶ Podczas poprzednich zajęć wprowadziliśmy pojęcie granicy ciągu i pokazaliśmy wprost z definicji, że
lim n → ∞ 1 n = 0. \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0. n → ∞ lim n 1 = 0. Teraz dowiemy się, jak można obliczyć granicę rozmaitych ciągów. By to zrobić, musimy najpierw poznać przykłady ciągów zbieżnych a następnie zobaczyć, jakie są arytmetyczne własności granicy.
Przykłady ciągów zbieżnych ¶ Twierdzenie
Dla dowolnego α > 0 \alpha > 0 α > 0
lim n → ∞ 1 n α = 0. \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^\alpha}=0. n → ∞ lim n α 1 = 0. Dla dowolnego ∣ a ∣ < 1 |a| < 1 ∣ a ∣ < 1
lim n → ∞ a n = 0. \lim_{n\to\infty} a^n=0. n → ∞ lim a n = 0. Dla dowolnego a > 0 a > 0 a > 0
lim n → ∞ a n = 1. \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a}=1. n → ∞ lim n a = 1. Mamy
lim n → ∞ n n = 1. \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1. n → ∞ lim n n = 1. Arytmetyczne własności granicy ¶ Twierdzenie
Niech ( a n ) (a_n) ( a n ) ( b n ) (b_n) ( b n ) lim n → ∞ a n = A \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=A n → ∞ lim a n = A lim n → ∞ b n = B \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=B n → ∞ lim b n = B
lim n → ∞ c ⋅ a n = c ⋅ A \displaystyle\lim_{n\to\infty}c\cdot a_n=c\cdot A n → ∞ lim c ⋅ a n = c ⋅ A c ∈ R c\in\mathbb{R} c ∈ R
lim n → ∞ ( a n + b n ) = A + B \displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=A+B n → ∞ lim ( a n + b n ) = A + B
lim n → ∞ ( a n − b n ) = A − B \displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=A-B n → ∞ lim ( a n − b n ) = A − B
lim n → ∞ ( a n ⋅ b n ) = A ⋅ B \displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=A\cdot B n → ∞ lim ( a n ⋅ b n ) = A ⋅ B
Ponadto jeżeli B ≠ 0 B\not=0 B = 0 b n ≠ 0 b_n\not=0 b n = 0 n ∈ N n\in\mathbb{N} n ∈ N
Obliczymy granicę ciągu
a n = n n + 1 . a_n=\frac{n}{n+1}. a n = n + 1 n . Mamy
a n = n n + 1 = n n n n + 1 n = 1 1 + 1 n . a_n=\frac{n}{n+1}=\frac{\frac{n}{n}}{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}=\frac{1}{1+\frac{1}{n}}. a n = n + 1 n = n n + n 1 n n = 1 + n 1 1 . Ponieważ
lim n → ∞ 1 = 1 oraz lim n → ∞ 1 + 1 n = 1 , \lim_{n\to\infty} 1=1 \text{ oraz } \lim_{n\to\infty}1+\frac{1}{n}=1, n → ∞ lim 1 = 1 oraz n → ∞ lim 1 + n 1 = 1 , to
lim n → ∞ a n = 1. \lim_{n\to\infty}a_n=1. n → ∞ lim a n = 1. Obliczymy granicę ciągu
a n = n 3 + n 2 4 n 3 + 14 n . a_n=\frac{n^3+n^2}{4n^3+ 14n}. a n = 4 n 3 + 14 n n 3 + n 2 . Dzieląc licznik i mianownik przez n 3 n^3 n 3
a n = n 3 + n 2 4 n 3 + 14 n = 1 + 1 n 4 + 14 n 2 . a_n= \frac{n^3+n^2}{4n^3+ 14n}=\frac{1+\frac{1}{n}}{4+\frac{14}{n^2}}. a n = 4 n 3 + 14 n n 3 + n 2 = 4 + n 2 14 1 + n 1 . Ponieważ
lim n → ∞ 1 + 1 n = 1 oraz lim n → ∞ 4 + 14 n 2 = 4 , \lim_{n\to\infty}1+\frac{1}{n}=1 \text{ oraz } \lim_{n\to\infty}4+\frac{14}{n^2}=4, n → ∞ lim 1 + n 1 = 1 oraz n → ∞ lim 4 + n 2 14 = 4 , to
lim n → ∞ a n = 1 4 . \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{4}. n → ∞ lim a n = 4 1 . Obliczymy granicę ciągu
a n = n 2 n 4 + 1 . a_n=\frac{n^2}{n^4+1}. a n = n 4 + 1 n 2 . Dzieląc licznik i mianownik przez n 4 n^4 n 4
a n = n 2 n 4 + 1 = 1 n 2 1 + 1 n 4 a_n= \frac{n^2}{n^4+1}=\frac{\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n^4}} a n = n 4 + 1 n 2 = 1 + n 4 1 n 2 1 Ponieważ
lim n → ∞ 1 n 2 = 0 oraz lim n → ∞ 1 + 1 n 4 = 1 , \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2}=0 \text{ oraz } \lim_{n\to\infty}1+\frac{1}{n^4}=1, n → ∞ lim n 2 1 = 0 oraz n → ∞ lim 1 + n 4 1 = 1 , to
lim n → ∞ a n = 0. \lim_{n\to\infty}a_n=0. n → ∞ lim a n = 0. Obliczymy granicę ciągu
a n = 2 5 n + 3 n 5 2 n + 1 + 4 n . a_n=\frac{25^n+3^n}{5^{2n+1}+4^n}. a n = 5 2 n + 1 + 4 n 2 5 n + 3 n . Dzieląc licznik i mianownik przez 2 5 n 25^n 2 5 n
a n = 2 5 n + 3 n 5 2 n + 1 + 4 n = 1 + ( 3 25 ) n 5 + ( 4 25 ) n . a_n=\frac{25^n+3^n}{5^{2n+1}+4^n}=\frac{1+\left(\frac{3}{25}\right)^n}{5+\left(\frac{4}{25}\right)^n}. a n = 5 2 n + 1 + 4 n 2 5 n + 3 n = 5 + ( 25 4 ) n 1 + ( 25 3 ) n . Ponieważ
lim n → ∞ 1 + ( 3 25 ) n = 1 oraz lim n → ∞ 5 + ( 4 25 ) n = 5 , \lim_{n\to\infty} 1+\left(\frac{3}{25}\right)^n=1 \text{ oraz } \lim_{n\to\infty}5+\left(\frac{4}{25}\right)^n=5, n → ∞ lim 1 + ( 25 3 ) n = 1 oraz n → ∞ lim 5 + ( 25 4 ) n = 5 , to
lim n → ∞ a n = 1 5 . \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{5}. n → ∞ lim a n = 5 1 . Obliczymy granicę ciągu
a n = n n 2 + 1 . a_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}. a n = n 2 + 1 n . By to zrobić, skorzystamy z następującego faktu:
Fakt
Niech ( a n ) (a_n) ( a n ) g g g ( a n ) (\sqrt{a_n}) ( a n ) g \sqrt{g} g
Dzieląc licznik i mianownik przez n n n
a n = n n 2 + 1 = 1 1 + 1 n 2 . a_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}. a n = n 2 + 1 n = 1 + n 2 1 1 . Ponieważ
lim n → ∞ 1 = 1 oraz lim n → ∞ 1 + 1 n 2 = 1 , \lim_{n\to\infty} 1=1 \text{ oraz } \lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}=1, n → ∞ lim 1 = 1 oraz n → ∞ lim 1 + n 2 1 = 1 , to
lim n → ∞ a n = 1. \lim_{n\to\infty}a_n=1. n → ∞ lim a n = 1. Obliczymy granicę ciągu
a n = n 2 + 4 n + 1 − n . a_n=\sqrt{n^2+4n+1}-n. a n = n 2 + 4 n + 1 − n . Mamy
a n = n 2 + 4 n + 1 − n = ( n 2 + 4 n + 1 − n ) ⋅ n 2 + 4 n + 1 + n n 2 + 4 n + 1 + n = 4 n + 1 n 2 + 4 n + 1 + n = 4 + 1 n 1 + 4 n + 1 n 2 + 1 . a_n=\sqrt{n^2+4n+1}-n=(\sqrt{n^2+4n+1}-n)\cdot \frac{\sqrt{n^2+4n+1}+n}{\sqrt{n^2+4n+1}+n}=
\frac{4n+1}{\sqrt{n^2+4n+1}+n}=\frac{4+\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}+1}. a n = n 2 + 4 n + 1 − n = ( n 2 + 4 n + 1 − n ) ⋅ n 2 + 4 n + 1 + n n 2 + 4 n + 1 + n = n 2 + 4 n + 1 + n 4 n + 1 = 1 + n 4 + n 2 1 + 1 4 + n 1 . Ponieważ
lim n → ∞ 4 + 1 n = 4 oraz lim n → ∞ 1 + 4 n + 1 n 2 + 1 = 2 , \lim_{n\to\infty} 4+\frac{1}{n}=4 \text{ oraz } \lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}+1=2, n → ∞ lim 4 + n 1 = 4 oraz n → ∞ lim 1 + n 4 + n 2 1 + 1 = 2 , to
lim n → ∞ a n = 2. \lim_{n\to\infty}a_n=2. n → ∞ lim a n = 2. Przykłady do samodzielnego rozwiązania ¶ Oblicz granice następujących ciągów:
a n = n + 1 n + 2 , b n = ∏ k = 1 n ( 1 − 1 k + 1 ) , c n = 17 n n 2 + 3 n + 2 , d n = n 2 + 3 n + 1 4 n 2 + 2 , e n = ( n + 2 ) ! + ( n + 1 ) ! ( n + 3 ) ! , f n = ( 2 n + 1 ) 2 − 3 n 2 + 3 . a_n=\frac{n+1}{n+2},\quad b_n=\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{1}{k+1}\right),\quad c_n=\frac{17n}{\sqrt{n^2+3n+2}},\quad d_n=
\frac{n^2+3n+1}{4n^2+2}, \quad e_n=\frac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+3)!},\quad f_n=\frac{(2n+1)^2}{-3n^2+3}. a n = n + 2 n + 1 , b n = k = 1 ∏ n ( 1 − k + 1 1 ) , c n = n 2 + 3 n + 2 17 n , d n = 4 n 2 + 2 n 2 + 3 n + 1 , e n = ( n + 3 )! ( n + 2 )! + ( n + 1 )! , f n = − 3 n 2 + 3 ( 2 n + 1 ) 2 . Oblicz granice ciągów:
a n = 2 n + 3 n 3 n + 1 , b n = 2 n + 3 n 4 n + 1 , c n = n + 1 − n , d n = n 2 + 9 n − n 2 + 6 n , e n = 8 n + 1 + 3 3 2 n + 1 . a_n=\frac{2^n+3^n}{3^n+1},\quad b_n=\frac{2^n+3^n}{4^n+1},\quad c_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n},\quad d_n=
\sqrt{n^2+9n}-\sqrt{n^2+6n}, \quad e_n=\frac{\sqrt[3]{8^{n+1}+3}}{2^n+1}. a n = 3 n + 1 2 n + 3 n , b n = 4 n + 1 2 n + 3 n , c n = n + 1 − n , d n = n 2 + 9 n − n 2 + 6 n , e n = 2 n + 1 3 8 n + 1 + 3 . Twierdzenie o trzech ciągach ¶ Poznamy teraz niezwykle użyteczne twierdzenie pozwalające obliczyć granicę skomplikowanych ciągów.
Twierdzenie
Niech ( a n ) (a_n) ( a n ) ( b n ) (b_n) ( b n ) c n c_n c n
a n ≤ b n ≤ c n dla n ∈ N . a_n\leq b_n\leq c_n \text{ dla }n\in\mathbb{N}. a n ≤ b n ≤ c n dla n ∈ N . Jeśli
lim n → ∞ a n = lim n → ∞ c n = g , \lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} c_n=g, n → ∞ lim a n = n → ∞ lim c n = g , to
lim n → ∞ b n = g . \lim_{n\to\infty} b_n=g. n → ∞ lim b n = g . Obliczymy granicę ciągu
a n = 2 n + 3 n + 5 n n . a_n=\sqrt[n]{2^n+3^n+5^n}. a n = n 2 n + 3 n + 5 n . Dla każdego n ∈ N n\in\mathbb{N} n ∈ N
5 = 5 n n ≤ 2 n + 3 n + 5 n n ≤ 5 n + 5 n + 5 n n = 5 3 n . 5=\sqrt[n]{5^n}\leq \sqrt[n]{2^n+3^n+5^n}\leq \sqrt[n]{5^n+5^n+5^n}=5\sqrt[n]{3}. 5 = n 5 n ≤ n 2 n + 3 n + 5 n ≤ n 5 n + 5 n + 5 n = 5 n 3 . Ponieważ
lim n → ∞ 5 = 5 oraz lim n → ∞ 5 3 n = 5 , \lim_{n\to\infty} 5=5 \text{ oraz } \lim_{n\to\infty}5\sqrt[n]{3}=5, n → ∞ lim 5 = 5 oraz n → ∞ lim 5 n 3 = 5 , to na mocy twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy, że
lim n → ∞ a n = 5. \lim_{n\to\infty}a_n=5. n → ∞ lim a n = 5. Obliczymy granicę ciągu
a n = 1 n 2 + 1 + 1 n 2 + 2 + … + 1 n 2 + n . a_n= \frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\ldots+\frac{1}{n^2+n}. a n = n 2 + 1 1 + n 2 + 2 1 + … + n 2 + n 1 . Dla każdego n ∈ N n\in\mathbb{N} n ∈ N
0 ≤ 1 n 2 + 1 + 1 n 2 + 2 + … + 1 n 2 + n ≤ n n 2 + 1 . 0\leq \frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\ldots+\frac{1}{n^2+n}\leq \frac{n}{n^2+1}. 0 ≤ n 2 + 1 1 + n 2 + 2 1 + … + n 2 + n 1 ≤ n 2 + 1 n . Ponieważ
lim n → ∞ 0 = 0 oraz lim n → ∞ n n 2 + 1 = 0 , \lim_{n\to\infty} 0=0 \text{ oraz } \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2+1}=0, n → ∞ lim 0 = 0 oraz n → ∞ lim n 2 + 1 n = 0 , to na mocy twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy, że
lim n → ∞ a n = 0. \lim_{n\to\infty}a_n=0. n → ∞ lim a n = 0. Obliczymy granicę ciągu
a n = n n 2 + 1 sin ( 13 n ! 4 ln ( n + 3 ) ) . a_n= \frac{n}{n^2+1}\sin\left(\frac{13n!}{4 \ln(n+3)}\right). a n = n 2 + 1 n sin ( 4 ln ( n + 3 ) 13 n ! ) . Dla każdego n ∈ N n\in\mathbb{N} n ∈ N
− n n 2 + 1 ≤ n n 2 + 1 sin ( 13 n ! 4 ln ( n + 3 ) ) ≤ + n n 2 + 1 . -\frac{n}{n^2+1}\leq\frac{n}{n^2+1}\sin\left(\frac{13n!}{4 \ln(n+3)}\right)\leq +\frac{n}{n^2+1}. − n 2 + 1 n ≤ n 2 + 1 n sin ( 4 ln ( n + 3 ) 13 n ! ) ≤ + n 2 + 1 n . Ponieważ
lim n → ∞ − n n 2 + 1 = 0 oraz lim n → ∞ n n 2 + 1 = 0 , \lim_{n\to\infty} -\frac{n}{n^2+1}=0 \text{ oraz } \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2+1}=0, n → ∞ lim − n 2 + 1 n = 0 oraz n → ∞ lim n 2 + 1 n = 0 , to na mocy twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy, że
lim n → ∞ a n = 0. \lim_{n\to\infty}a_n=0. n → ∞ lim a n = 0. Przykłady do samodzielnego rozwiązania ¶ Oblicz granice następujących ciągów:
a n = 1 + 3 n + 4 n n , b n = 3 + sin n n , c n = ( 0 , 9 ) n n + 1 . a_n=\sqrt[n]{1+3^n+4^n},\quad b_n=\sqrt[n]{3+\sin n },\quad c_n=\frac{(0,9)^n}{n+1}. a n = n 1 + 3 n + 4 n , b n = n 3 + sin n , c n = n + 1 ( 0 , 9 ) n . Pewne kryterium zbieżności do zera ¶ Fakt
Niech ( a n ) (a_n) ( a n )
lim n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ = q < 1. \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|= q < 1. n → ∞ lim ∣ ∣ a n a n + 1 ∣ ∣ = q < 1. Wtedy ciąg ( a n ) (a_n) ( a n )
Przykład ¶ Pokażemy, że ciąg
a n = n 2 2 n a_n=\frac{n^2}{2^n} a n = 2 n n 2 jest zbieżny do zera. W tym celu skorzystamy z powyższego faktu. Mamy
a n + 1 a n = ( n + 1 ) 2 n 2 ⋅ 2 n 2 n + 1 = n 2 + 2 n + 1 2 n 2 . \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2}{n^2}\cdot \frac{2^n}{2^{n+1}}=\frac{n^2+2n+1}{2n^2}. a n a n + 1 = n 2 ( n + 1 ) 2 ⋅ 2 n + 1 2 n = 2 n 2 n 2 + 2 n + 1 . Zatem
lim n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ = 1 2 . \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1}{2}. n → ∞ lim ∣ ∣ a n a n + 1 ∣ ∣ = 2 1 . To daje, że ciąg ( a n ) (a_n) ( a n )
Ciągi rozbieżne do + ∞ +\infty + ∞ ¶ Definicja
Ciąg ( a n ) (a_n) ( a n ) + ∞ +\infty + ∞ M > 0 M > 0 M > 0 N N N n ≥ N n\geq N n ≥ N
Piszemy wtedy, że lim n → ∞ a n = ∞ \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\infty n → ∞ lim a n = ∞ a n → n → ∞ ∞ a_n\xrightarrow{n\to\infty}\infty a n n → ∞ ∞
Uwaga: używając symboli logicznych można powyższą definicję wyrazić następująco:
lim n → ∞ a n = ∞ ⇔ ∀ M > 0 ∃ N ∀ n ≥ N a n ≥ M . \lim_{n\to\infty}a_n=\infty \Leftrightarrow \forall_{M > 0}\exists_{N}\forall_{n\geq N} a_n\geq M. n → ∞ lim a n = ∞ ⇔ ∀ M > 0 ∃ N ∀ n ≥ N a n ≥ M . Przykład ¶ Pokażemy wprost z definicji, że
lim n → ∞ n 2 + n = ∞ . \lim_{n\to\infty} n^2+n=\infty. n → ∞ lim n 2 + n = ∞. Niech zatem M > 0 M > 0 M > 0 n ≥ M n\geq M n ≥ M
a n = n 2 + n > n ≥ M . a_n=n^2+n > n\geq M. a n = n 2 + n > n ≥ M . To pokazuje, że ciąg a n a_n a n + ∞ +\infty + ∞
Fakt ¶ Niech ( a n ) (a_n) ( a n ) a n > 0 a_n > 0 a n > 0 n n n
lim n → ∞ a n = ∞ ⇔ lim n → ∞ 1 a n = 0. \lim_{n\to\infty}a_n=\infty \Leftrightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=0. n → ∞ lim a n = ∞ ⇔ n → ∞ lim a n 1 = 0. Przykład ¶ Ponieważ wyrazy ciągu a n a_n a n
lim n → ∞ n 3 + 15 n 4 + n 2 + 7 = 0 , \lim_{n\to\infty}\frac{n^3+15}{n^4+n^2+7}=0, n → ∞ lim n 4 + n 2 + 7 n 3 + 15 = 0 , to
lim n → ∞ n 4 + n 2 + 7 n 3 + 15 = ∞ . \lim_{n\to\infty}\frac{n^4+n^2+7}{n^3+15}=\infty. n → ∞ lim n 3 + 15 n 4 + n 2 + 7 = ∞. Ciągi rozbieżne do − ∞ -\infty − ∞ ¶ Definicja
Ciąg ( a n ) (a_n) ( a n ) − ∞ -\infty − ∞ M > 0 M > 0 M > 0 N N N n ≥ N n\geq N n ≥ N
Piszemy wtedy, że lim n → ∞ a n = − ∞ \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty n → ∞ lim a n = − ∞ a n → n → ∞ − ∞ a_n\xrightarrow{n\to\infty}-\infty a n n → ∞ − ∞
Uwaga: używając symboli logicznych można powyższą definicję wyrazić następująco:
lim n → ∞ a n = − ∞ ⇔ ∀ M > 0 ∃ N ∀ n ≥ N a n ≤ − M . \lim_{n\to\infty}a_n=-\infty \Leftrightarrow \forall_{M > 0}\exists_{N}\forall_{n\geq N} a_n\leq -M. n → ∞ lim a n = − ∞ ⇔ ∀ M > 0 ∃ N ∀ n ≥ N a n ≤ − M . Fakt ¶ Niech ( a n ) (a_n) ( a n ) a n < 0 a_n < 0 a n < 0 n n n
lim n → ∞ a n = − ∞ ⇔ lim n → ∞ 1 a n = 0. \lim_{n\to\infty}a_n=-\infty \Leftrightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=0. n → ∞ lim a n = − ∞ ⇔ n → ∞ lim a n 1 = 0. Ponieważ wyrazy ciągu ( a n ) (a_n) ( a n )
lim n → ∞ − n 2 n 4 + 1 = 0 , \lim_{n\to\infty}\frac{-n^2}{n^4+1}=0, n → ∞ lim n 4 + 1 − n 2 = 0 , to
lim n → ∞ n 4 + 1 − n 2 = − ∞ . \lim_{n\to\infty}\frac{n^4+1}{-n^2}=-\infty. n → ∞ lim − n 2 n 4 + 1 = − ∞.