21. Wielomiany i ich własności

Treści kształcenia. Wielomiany: dzielenie pisemne wielomianów, schemat Hornera i jego zastosowanie do wyliczania wartości w punkcie i dzielenia przez dwumian, schemat Hornera jako algorytm - zapis w pseudokodzie. Pierwiastek wielomianu i jego krotność, wzory Viete’a i ich wykorzystanie w obliczeniach komputerowych (zamiast wzorów na oba pierwiastki - “zero maszynowe”).

Efekty kształcenia. Student potrafi wykonywać podstawowe operacje na wielomianach, w szczególności niezbędne w informatyce (np. schemat Hornera). Potrafi wykorzystać wzory Vieta.

Podczas tych zajęć przypomnimy sobie, jak szuka się wymiernych miejsc zerowych wielomianów. Dowiemy się również, jak rozłożyć funkcję na ułamki proste (przyda nam się to na analizie matematycznej przy obliczaniu niektórych całek).

Miejsca zerowe wielomianu¶

Definicja

Niech $p$ będzie wielomianem. Liczbę rzeczywistą $a$ nazywamy pierwiastkiem wielomianu $p$, jeżeli $p(a)=0$.

Uwaga:

Na mocy powyższej definicji pierwiastki wielomianu $p$ to po prostu jego miejsca zerowe. Z twierdzenia o dzieleniu wielomianów można w łatwy sposób otrzymać poniższe twierdzenie.

Twierdzenie Bezouta¶

Liczba rzeczywista $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $p$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ten jest podzielny przez wielomian $x-a$.

Definicja

Niech $P$ będzie wielomianem. Liczbę rzeczywistą $a$ nazywamy $k-$krotnym pierwiastkiem wielomianu $P$, gdy wielomian $P$ jest podzielny przez wielomian $(x-a)^k$ i nie jest podzielny przez wielomian $(x-a)^{k+1}$.

Twierdzenie: całkowite i wymierne miejsca zerowe wielomianu¶

Niech $p(x)$ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych danym wzorem

gdzie $a_n\not=0$ oraz $a_0\not=0$.

• Jeśli liczba całkowita $c$ jest pierwiastkiem wielomianu $p$, to liczba $c$ dzieli liczbę $a_0$.

• Jeśli ułamek nieskracalny $\frac a b$ jest pierwiastkiem wielomianu $p$, to liczba $a$ dzieli $a_0$ oraz liczba $b$ dzieli $a_n$.

Twierdzenie o rozkładzie wielomianu¶

Niech $p$ będzie wielomianem stopnia $n$. Wtedy $p$ można wyrazić wzorem

gdzie

• $c\in\mathbb{R}$;

• $x_1<x_2<\ldots<x_s$ są wszystkimi miejscami zerowymi wielomianu $p$ o krotnościach równych $n_1,\ldots,n_s$;

• $a_1,b_1,\ldots,a_l,b_l\in\mathbb{R}$ oraz $\Delta_i=a^2_i-4b_i<0$ dla $i=1,\ldots, l$.

Uwaga:

Sprowadzanie wielomianu do postaci opisanej powyżej sprowadza się tak naprawdę do znajdowania jego miejsc zerowych, jest więc zagadnieniem trudnym. Dla wielomianów stopnia co najmniej 5 nie istnieje ogólny wzór (w pierwiastnikach) pozwalający to zagadnienie rozwiązać. W praktyce rachunkowej jedyna “nadzieja” na jego rozwiązanie jest następująca: uda nam się zgadnąć dostatecznie dużo miejsc zerowych wielomianu.

Przykład

Niech

Znajdziemy jego wszystkie miejsca zerowe. Oczywiście $p$ jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, zatem jego wymierne pierwiastki zawierają się w zbiorze $\{-8,-4,-2,-1,1,2,4,8\}$. Mamy $p(1)=0$. Stąd wielomian $p$ dzieli się przez dwumian $x-1$. Proste rachunki (oparte np. na schemacie Hornera) dają, że

Łatwo sprawdzamy, że liczba 2 jest miejscem zerowym wielomianu $x^3-6x^2+12x-8$. Dzieląc wielomiany otrzymujemy, że

Ostatecznie

i jedynymi miejscami zerowymi wielomianu $p$ są liczby 1 oraz 2.

Przykład

Niech

Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów otrzymujemy, że

Korzystając teraz ze wzorów na sumę i różnicę sześcianów dostajemy następujący rozkład wielomianu $p$ na iloczyn dwumianów i trójmianów kwadratowych o ujemnych wyróżnikach

Przykład

Niech

Mamy

Zatem liczba -1 jest jedynym miejscem zerowym wielomianu $p$.

Zadanie

Znajdź miejsca zerowe wielomianu $p(x)=x^6+2x^4-31x^2+28$.

Zadanie

Znajdź miejsca zerowe wielomianu $p(x)=x^3-5x^2+8x-4$.

Funkcje wymierne¶

Definicja funkcji wymiernej¶

Funkcję $w$ nazywamy funkcją wymierną jednej zmiennej rzeczywistej (w skrócie funkcją wymierną), gdy określona jest ona wzorem

gdzie $p$ oraz $q$ są wielomianami jednej zmiennej rzeczywistej i ponadto $q$ nie jest wielomianem zerowym.

• Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których $q(x)\not=0.$

Uwaga:

Z definicji funkcji wymiernych wynika, że są one po prostu funkcjami pewnej szczególnej postaci, możemy zatem wykonywać na nich takie same operacje jak na funkcjach. Łatwo zauważyć, że suma i iloczyn funkcji wymiernych jest funkcją wymierną.

Na mocy definicji funkcja wymierna jest ilorazem dwóch wielomianów. Ze względu na zastosowania (zwłaszcza w kontekście rachunku całkowego) istotne jest przedstawienie tej funkcji za pomocą “prostszych” funkcji wymiernych.

Definicja ułamka prostego¶

Funkcję wymierną $w$ nazywamy

• ułamkiem prostym pierwszego rodzaju, gdy

gdzie $A,B,C\in\mathbb{R}$, $B\not=0$ oraz $k\in\mathbb{N}$;

• ułamkiem prostym drugiego rodzaju, gdy

gdzie $A,B,C,D,E\in\mathbb{R}$, $C\not=0$, $l\in\mathbb{N}$ oraz $D^2-4CE<0$ (to oznacza, że funkcja $Cx^2+Dx+E$ nie ma miejsc zerowych);

• ułamkiem prostym, gdy jest ułamkiem prostym pierwszego lub drugiego rodzaju.

Przykłady ułamków prostych¶

Funkcje wymierne

są ułamkami prostymi. Funkcja

nie jest ułamkiem prostym, ponieważ wyróżnik funkcji kwadratowej w mianowniku jest większy od zera.

O możliwości rozkładu pewnych funkcji wymiernych na ułamki proste mówi następujące twierdzenie.

Twierdzenie o rozkładzie funkcji wymiernej¶

Niech $w$ będzie funkcją wymierną postaci

gdzie $q$ nie jest wielomianem zerowym oraz $\operatorname{deg}(p)<\operatorname{st}(q)$. Wtedy $w$ można przedstawić jako skończoną sumę ułamków prostych.

Uwaga:

Niech $w$ będzie funkcją wymierną taką jak wyżej. Ponadto niech

gdzie

• $c\in\mathbb{R}$;

• $x_1<x_2<\ldots<x_s$ są wszystkimi miejscami zerowymi wielomianu $q$ o krotnościach równych $n_1,\ldots,n_s$;

• $a_1,b_1,\ldots,a_l,b_l\in\mathbb{R}$ oraz $\Delta_i=a^2_i-4b_i<0$ dla $i=1,\ldots, l$.

W rozkładzie funkcji $w$ na ułamki proste mogą wystąpić tylko ułamki proste pierwszego rodzaju postaci

gdzie $1\leq i\leq s$ oraz $1\leq k\leq n_i$, oraz ułamki proste drugiego rodzaju postaci

gdzie $1\leq j\leq l$ oraz liczba naturalna $m$ jest mniejsza lub równa od liczby wystąpień wyrażenia $x^2+a_jx+b_j$ w rozkładzie wielomianu $q$.

Niech teraz $w$ będzie dowolną funkcją wymierną postaci

Z twierdzenia o dzieleniu wielomianów wynika, że istnieją wielomiany $d$ i $r$ takie, że

Stąd

Na mocy twierdzenia o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste funkcję wymierną $\frac{r(x)}{q(x)}$ można zapisać jako skończoną sumę ułamków prostych. Stąd otrzymujemy następujący wniosek.

Wniosek:

Dowolną funkcję wymierną można przedstawić w postaci sumy wielomianu i skończonej liczby ułamków prostych.

Przykład 1¶

Niech

Dzieląc wielomian $x^3$ przez $x-1$ otrzymujemy, że

Stąd

Zapisaliśmy zatem $w$ jako sumę wielomianu i ułamków prostych.

Przykład 2¶

Rozłożymy na ułamki proste funkcję

Mamy

Wiemy, że rozkład $w$ na ułamki proste będzie wyglądał następująco:

my musimy znaleźć nieznane w tej chwili liczby $A$ oraz $B$. W tym celu mnożymy powyższe równanie przez wielomian $(x-2)(x-3)$ i dostajemy równość

Porównując odpowiednie współczynniki wielomianów po lewej i po prawej stronie otrzymujemy równania

Stąd wynika, że $A=-1$ oraz $B=1$. Ostatecznie

Przykład 3¶

Rozłożymy na ułamki proste funkcję

Wiemy, że rozkład $w$ na ułamki proste będzie wyglądał następująco:

my musimy znaleźć nieznane w tej chwili liczby $A,B$ oraz $C$. W tym celu mnożymy powyższe równanie przez wielomian $(x-2)^3$ i dostajemy równość

Porównując odpowiednie współczynniki wielomianów po lewej i po prawej stronie otrzymujemy równania

Rozwiązaniem tego układu równań jest $A=4,$ $B=5$, $C=-8$. Ostatecznie

Przykład 4¶

Rozłożymy na ułamki proste funkcję

Wiemy, że rozkład $w$ na ułamki proste będzie wyglądał następująco:

my musimy znaleźć nieznane w tej chwili liczby $A,B$ oraz $C$. W tym celu mnożymy powyższe równanie przez wielomian $(x-2)(x^2+x+1)$ i dostajemy równość

Porównując odpowiednie współczynniki wielomianów po lewej i po prawej stronie otrzymujemy równania

Rozwiązaniem tego układu równań jest $A=9,$ $B=2$, $C=7$. Ostatecznie

Zadanie

Rozłóż funkcję

na ułamki proste.

Zadanie

Rozłóż funkcję

na ułamki proste.

Zadanie

Rozłóż funkcję

na ułamki proste.