26. Odległość punktu od prostej. Okręgi - Wstęp do matematyki 06-DPMALI0

Treści kształcenia: Podstawy geometrii analitycznej. Podstawy rachunku wektorów i ich zastosowania. Równania prostych i powierzchni. Równanie prostej - postać kierunkowa i ogólna, warunek równoległości i prostopadłości prostych, odległość dwóch punktów i punktu od prostej, równanie okręgu. Krzywe i powierzchnie zadane parametrycznie.

Efekty kształcenia: Potrafi wykorzystać rachunek wektorowy w odniesieniu do obiektów geometrycznych. Operuje równaniami w opisach geometrycznych.

Odległość punktów na płaszczyźnie¶

Dane są dwa punkty na płaszczyźnie: $P = (x_0, y_0)$ oraz $Q = (x_1, y_1)$ . W jaki sposób znaleźć odległość między nimi? Narysujmy trójkąt prostokątny PQR, którego przyprostokątne są równoległe do osi, zaś przeciwprostokątną jest odcinek PQ (patrz rysunek poniżej).

# Ilustracja sytuacji
rysunek = point((1, 2), color= "black", size = 40)
rysunek += point((2, 4), color= "black", size = 40)
rysunek += point((2, 2), color= "black", size = 40)
rysunek += line([(1, 2), (2, 4)], linestyle = "--", color = "red")
rysunek += line([(1, 2), (2, 2)], linestyle = "--", color = "red")
rysunek += line([(2, 2), (2, 4)], linestyle = "--", color = "red")
rysunek += text("P", (1, 2+0.1), fontsize = 30)
rysunek += text("Q", (2-0.05, 4), fontsize = 30)
rysunek += text("R", (2-0.05, 2+0.1), fontsize = 30)
rysunek.show()

Graphics object consisting of 9 graphics primitives

Długości przyprostokątnych wynoszą wtedy $|x_1 - x_0|$ oraz $|y_1 - y_0|$ , zatem z twierdzenia Pitagorasa:

|PQ|^2 = (x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2.

Daje to następujący wzór na odległość punktów $P$ i $Q$ :

d(P, Q) = \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2}.

Równość tę można wyprowadzić również za pomocą iloczynu skalarnego wektorów jako $\sqrt{\vec{PQ} \circ \vec{PQ}}$ .

Podobnie dla punktów $P = (x_0, y_0, z_0)$ oraz $Q = (x_1, y_1, z_1)$ w przestrzeni mamy:

d(P, Q) = \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2 + (z_1 - z_0)^2} .

Uwaga: istnieją również inne sposoby mierzenia odległości między punktami, tzw. metryki. Podana tutaj metryka to tzw. metryka euklidesowa.

Przykład - odległość między punktami¶

Niech $A = (1, -2, 0)$ , $B = (1, 3, 1)$ . Znajdź $d(A, B)$ .

# Odległość możemy obliczyć jako długość wektora AB
A = vector((1, -2, 0))
B = vector((1, 3, 1))
print((A - B).norm())

sqrt(26)

Własności odległości¶

Odległość między punktami jest symetryczna (tzn. $d(A, B)= d(B, A)$ ), odległość między różnymi punktami jest dodatnia, a ponadto spełniona jest nierówność trójkąta:

d(A, C) + d(C, B) \ge d(A, B)

dla dowolnych punktów $A$ , $B$ , $C$ . Mówiąc obrazowo, “najkrótsza droga z punktu $A$ do $B$ jest bezpośrednia”. Równość w tej nierówności jest spełniona tylko, gdy punkt C należy do odcinka AB.

Przykład - najkrótsza droga¶

Ania idzie z punktu $A = (-1, 2)$ do punktu $B = (-2, -2)$ . Po drodze chce ona nabrać wody z rzeki, która płynie przez prostą $x = 0$ . Jaka jest najkrótsza droga, która pozwoli jej na to?

Rozwiązanie nr 1:

Załóżmy, że Ania nabierze wody w punkcie $C = (0, y)$ . Wówczas łamana $ACB$ ma długość:

d(A, C) + d(C, B) = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (2 - y)^2} + \sqrt{(-2 - 0)^2 + (-2 - y)^2}

Narysujmy wykres tej funkcji.

var('y')
f = sqrt((-1)^2 + (2-y)^2) + sqrt((-2)^2 + (-2 - y)^2)
plot(f, xmin = -10, xmax = 10)

Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Z wykresu widać, że minimum występuje dla $y \in (0, 1)$ . Aby znaleźć minimalną wartość tego wyrażenia, można np. sprawdzić zachowanie pochodnej. Daje to wynik $y = 2/3$ .

Rozwiązanie nr 2: Załóżmy, że Ania nabierze wody w punkcie $C$ . Niech $A' = (1, 2)$ będzie odbiciem punktu $A$ względem prostej $x = 0$ . Wówczas:

d(A, C) + d(C, B) = d(A', C) + d(C, B) \ge d(A', B) = \sqrt{(1 + 2)^2 + (2 + 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

i długość ta zostanie osiągnięta, jeżeli $C$ będzie przecięciem odcinka $A'B$ z “rzeką” $x = 0$ . Łatwo obliczyć, że $C = (0, \frac 23)$ .

# Aplet ukazujący długość drogi dla różnych wyborów punktu poboru wody. 
def rzeka(y):
    image = point((-1, 2))
    image += point((-2, -2))
    image += point((0, y))
    image += point((1, 2))
    image += line([(-1, 2), (0, y)], color = "red")
    image += line([(-2, -2), (0, y)], color = "red")
    image += line([(1, 2), (0, y)], linestyle = "--", color = "red")
    image += line([(1, 2), (-2, -2)], linestyle = "--", color = "green")
    odleglosc = sqrt((-1)^2 + (2-y)^2) + sqrt((-2)^2 + (-2 - y)^2)
    image += text("d(A, C) + d(C, B) = %s"%(odleglosc.n(digits=3)), (-2, 1))
    image += text("A", (-1.1, 2))
    image += text("C", (-0.1, y))
    image += text("B", (-2.1, -2))
    image += text("A'", (1.1, 2))
    return(image)

@interact
def _(y = slider(-2, 2, 0.01, default = 2/3)):
    rzeka(y).show()
    
aplet = [rzeka(y) for y in [-1, 2/3, 4/3]]

# Wersja statyczna powyższego apletu.
g1=graphics_array(aplet,ncols=3)
g1.show(figsize=[10,10], aspect_ratio = 1)

Odległość punktu od prostej¶

Odległość punktu $P$ od prostej $\ell$ definiujemy jako najmniejszą możliwą odległość punktu $P$ od punktu leżącego na prostej $\ell$ . Jeżeli prosta $\ell$ jest zadana równaniem $Ax + By + C = 0$ , zaś $P = (x_0, y_0)$ , to odległość ta wynosi:

d(P, \ell) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{ \sqrt{A^2 + B^2}}.

Przykład - odległość punktu od prostej¶

Dane są prosta $\ell : y = x - 1$ oraz punkt $P = (3, 4)$ .

(a) Znajdź odległość punktu $P$ od prostej $\ell$ .

(b) Wyznacz punkt $R$ na prostej $\ell$ o najmniejszej odległości od punktu $P$ .

Rozwiązanie:

(a) ze wzoru: $d(P, \ell) = \frac{|3 - 4 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \sqrt{2}$ .

(b) niech $R = (x, x-1)$ . Zastanawiamy się, kiedy wartość $d(R, P) = \sqrt{(x - 3)^2 + (x-5)^2}$ jest najmniejsza. Na zajęciach można to sprawdzić, szukając wierzchołka paraboli $y = (x - 3)^2 + (x-5)^2$ . My ją narysujemy:

# Wykres paraboli
plot((x - 3)^2 + (x-5)^2, (x, -10, 10))

Zachodzi to dla $x = 4$ i wówczas $R = (4, 3)$ , $d(R, P) = \sqrt 2= d(P, \ell)$ .

# Narysujmy punkty P, R i prostą l
obrazek = plot(x-1, (x, 0, 5))
obrazek += point((3, 4), size = 20)
obrazek += point((4, 3), size = 20)
obrazek.show(aspect_ratio = 1)

Graphics object consisting of 3 graphics primitives

Równanie okręgu¶

Okręgiem o środku w punkcie $P = (x_0, y_0)$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór tych punktów, które leżą w odległości $r$ od $P$ . Wyprowadźmy równanie okręgu:

d((x, y), (x_0, y_0)) = r \Leftrightarrow \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = r \Leftrightarrow (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2.

Przykładowo, równanie okręgu o środku w punkcie $(0, 0)$ i promieniu 1 to:

x^2 + y^2 = 1.

Przykład - równanie okręgu¶

Jaki jest środek i promień okręgu zadanego równaniem $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0$ ? Narysuj go w układzie współrzędnych.

Odpowiedź: środek to $(3, -2)$ , promień to 3.

# Wykres okręgu
var('x', 'y')
implicit_plot(x^2 + y^2 - 6*x + 4*y + 4, (x,-1,7), (y,-5,2))

Przykład - równanie okręgu przez dany punkt¶

Znajdź równanie okręgu o środku w $S = (1, -1)$ przechodzącego przez punkt $(-2, 1)$ .

Odpowiedź: $(x-1)^2 + (y+1)^2 =13$ .

# Wykres okręgu
var('x', 'y')
image = implicit_plot((x-1)^2 + (y + 1)^2 - 13, (x,-4,5), (y,-5,3), color = "red")
image += point((1, -1), size = 20) + point((-2, 1), size = 20)
image.show()

Przykład - okrąg opisany na trójkącie¶

Znajdź równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC, gdzie $A=(-6,1)$ , $B=(3,-2)$ , $C=(2,5)$ .

# Musimy rozwiązać odpowiedni układ równań na środek okręgu i promień
var('a, b, r')

punkty = [(-6,1), (3, -2), (2, 5)]
solve([ [(P[0] - a)^2 + (P[1] - b)^2 == r^2] for P in punkty], [a, b, r])

[[a == -1, b == 1, r == -5], [a == -1, b == 1, r == 5]]

Odpowiedź: $(x+1)^2 +(y-1)^2 = 5^2$

# Wykres okręgu i punktów
var('x', 'y')
image = implicit_plot((x+1)^2 + (y-1)^2 - 5^2, (x,-7,5), (y,-5,7), color = "green")
image += point((-6,1), size = 20)
image += point((3, -2), size = 20)
image += point((2, 5), size = 20)
image.show()

Graphics object consisting of 4 graphics primitives

Styczne do okręgu¶

Styczna do danego okręgu to prosta, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z danym okręgiem. Aby wyznaczyć styczną do okręgu w danym punkcie, możemy wykorzystać dwie metody:

stwierdzić, kiedy układ równań definiujący przecięcie prostej i okręgu ma dokładnie jedno rozwiązanie,
wykorzystać, że środek okręgu jest w odległości równej promieniowi od dowolnej stycznej.

Przykład - styczna przechodząca przez dany punkt¶

Znajdź równanie stycznej do okręgu $x^2+y^2=13$ przechodzącej przez punkt $B=(-2, 3)$ .

Rozwiązanie nr 1: niech styczna ta będzie postaci $\ell : y = ax + b$ . Wówczas $3 = -2a + b$ (jako że leży na niej punkt $B$ ), tzn. $b = 3 + 2a$ . Znajdźmy punkty wspólne prostej $\ell$ z okręgiem, tzn. punkty $(x, y)$ spełniające układ równań:

\begin{cases} x^2 + y^2 = 13\\ y = ax +3 + 2 a \end{cases}

Wstawiając drugie równanie do pierwszego, otrzymamy równanie kwadratowe zmiennej $x$ . Ma ono dwa rozwiązania:

# Rozwiązujemy równanie kwadratowe w zależności od parametru a.
var('a', 'x')
solve(x^2 + (a*x + 3 +2*a)^2 - 13 == 0, x)

[x == -2*(a^2 + 3*a - 1)/(a^2 + 1), x == -2]

W naszym przypadku punkt przecięcia musi być jeden, zatem:

-2 = \frac{-2(a^2 + 3a - 1)}{a^2 + 1}.

Po uproszczeniu, dostajemy równanie liniowe o rozwiązaniu $a = 2/3$ .

Odpowiedź: $\ell : y = \frac 23 x + \frac{13}3$ .

# Rozwiązujemy równanie na a
solve(-2 == -2*(a^2 + 3*a - 1)/(a^2 + 1), a)

[a == (2/3)]

Rozwiązanie nr 2: niech styczna ta będzie postaci $\ell : y = ax + b$ . Wówczas, jak poprzednio, $b = 3 + 2a$ . Ponadto:

d(\ell, (0, 0)) = \sqrt{13} \quad \Rightarrow \quad \frac{|a \cdot 0 - 0 + b|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{13} \quad \Rightarrow \quad \frac{|3 + 2 a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{13}

# Rozwiązujemy równanie na a. Sage nie daje rady...
var('a')
solve(sqrt((2*a + 3)^2)/sqrt(a^2 + 1) == sqrt(13), a)

[sqrt(4*a^2 + 12*a + 9) == sqrt(13)*sqrt(a^2 + 1)]

# ... więc musimy je podnieść do kwadratu
var('a')
solve((2*a + 3)^2/(a^2 + 1) == 13, a)

[a == (2/3)]

Odpowiedź: $\ell : y = \frac 23 x + \frac{13}3$ .

# Narysujmy całą sytuację.
var('x', 'y')
image = implicit_plot(x^2 + y^2 - 13, (x,-4,5), (y,-5,5), color = "green")
image += plot(2/3*x + 13/3, (x,-5,5), color = "red")
image += point((-2, 3), size = 20)
image.show()

Przykład - okrąg styczny do zadanych prostych¶

Wyznacz równanie okręgu stycznego do prostych $\ell_1 : y=2x+4$ i $\ell_2 : y=2x-6$ przechodzącego przez punkt $P = (5,6)$ .

Rozwiązanie: Niech $S = (a, b)$ będzie środkiem tego okręgu, zaś $r$ -- promieniem. Wówczas:

d(S, \ell_1) = d(S, \ell_2) = r \Rightarrow \frac{|2a - b + 4|}{\sqrt 5} = \frac{|2a - b - 6|}{\sqrt 5}.

Stąd $|2a - b + 4| = |2a - b -6|$ , czyli $2a - b + 4 = 2a - b -6$ lub $2a - b + 4 = -2a + b + 6$ . Z pierwszej z tych równości dostajemy sprzeczność, zaś z drugiej: $b = 2a - 1$ . Ponadto:

r = d(S, \ell_1) = \frac{|2a - (2a - 1) + 4|}{\sqrt 5} = \sqrt 5.

Stąd:

\sqrt 5 = d(P, S) = \sqrt{(5 - a)^2 + (6 - b)^2} = \sqrt{(5-a)^2 + (6 - 2a + 1)^2}.

Rozwiązując, dostajemy $a = 3$ lub $a = 23/5$ :

# Rozwiązujemy rónanie zmiennej a
var('a')
solve((5-a)^2 + (6 - 2*a + 1)^2 == 5, a)

[a == 3, a == (23/5)]

zatem ten okrąg to $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 5$ lub $(x - 23/5)^2 + (y - 41/5)^2 = 5$ .

# Narysujmy okręgi i proste
var('x', 'y')
xmin = -5
xmax = 10
ymin = 0
ymax = 15
image = implicit_plot((x-3)^2 + (y-5)^2 - 5, (x,xmin,xmax), (y,ymin,ymax), color = "green")
image += implicit_plot((x-23/5)^2 + (y-41/5)^2 - 5, (x,xmin,xmax), (y,ymin,ymax), color = "green")
image += plot(2*x + 4, (x,xmin,xmax), color = "red")
image += plot(2*x - 6, (x,xmin,xmax), color = "red")
image += point((5, 6), size = 20)
image.show()

Graphics object consisting of 5 graphics primitives

Styczność okręgów¶

Mówimy, że okręgi są do siebie styczne, jeżeli mają one dokładnie jeden punkt wspólny. Mogą one być styczne wewnętrznie (jeżeli jeden z okręgów jest zawarty wewnątrz drugiego) lub zewnętrznie (w przeciwnym wypadku). Aby stwierdzić, czy są one styczne zewnętrznie lub wewnętrznie, należy obliczyć odległość między ich środkami i porównać z sumą/różnicą promieni.

Przykład - okręgi styczne¶

Czy okręgi o równaniach $(x-5)^2 + (y-3)^2 = 2^2$ oraz $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 3^2$ są do siebie styczne?

Rozwiązanie: Odległość między środkami tych okręgów wynosi $d((5, 3), (2, -1)) = 5 = 2 + 3 = r_1 + r_2$ , zatem są one styczne zewnętrznie.

# Narysujmy podane okręgi
var('x, y')
xmin = -2
xmax = 8
ymin = -4
ymax = 6
image = implicit_plot((x-5)^2 + (y-3)^2 - 2^2, (x,xmin,xmax), (y,ymin,ymax), color = "green")
image += implicit_plot((x-2)^2 + (y+1)^2 - 3^2, (x,xmin,xmax), (y,ymin,ymax), color = "green")
image.show()

Graphics object consisting of 2 graphics primitives

Zadania dodatkowe¶

Zadanie nr 1¶

Znajdź równania prostych stycznych do okręgu $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0$ i prostopadłych do prostej $x + 2y - 6 = 0$ .

Zadanie nr 2¶

Czy czworokąt o wierzchołkach $A = (2, 10)$ , $B = (-3, 9)$ , $C = (-7, 3)$ , $D = (5, 9)$ leży na okręgu? Jeżeli tak, to podaj jego równanie.

Zadanie nr 3¶

Czy okręgi o podanych równaniach są do siebie styczne wewnętrznie lub zewnętrznie?

(a) $x^2 + y^2 + 1 = 2 x + 6 y$ , $x^2 + y^2 + 5 + 6x = 0$ ,

(b) $x^2 + y^2 - 2 x - 2 y = 34$ , $x^2 + y^2 + 40 = 10x + 8y$ .

(c) $x^2 + y^2 = 2 x+4 y + 20$ , $x^2 + y^2 +16 = 6 x+8 y$ .

Zadanie nr 4¶

Znajdź równanie sfery o środku $(1, 2, 0)$ przechodzącej przez punkt $(-1, 2, 2)$ .