19. Funkcje trygonometryczne

Treści kształcenia. Funkcje. Pojęcie funkcji (intuicyjnie, nie jako relacji), argumenty, wartości, dziedzina, przeciwdziedzina, zbiór wartości. Funkcje monotoniczne, wypukłe, parzyste, nieparzyste, okresowe. Iniekcje, suriekcje, bijekcje. Przegląd podstawowych funkcji elementarnych (afiniczna, kwadratowa, wykładnicza, logarytmiczna (teoria obliczeń), trygonometryczne), ich wykresów i własności.

Efekty kształcenia. Potrafi badać i określać własności podstawowych funkcji, które napotyka w informatyce.

Wstęp¶

Celem niniejszych zajęć jest zrozumienie własności funkcji trygonometrycznych, czyli funkcji stowarzyszonych z parametryzacją okręgu. Ich użyteczność w informatyce ujawnia się najbardziej w projektowaniu grafiki komputerowej. Funkcje trygonometryczne są używane również przy generowaniu tzw. transformat, np. transformaty Fouriera (zarówno dyskretnej i ciągłej). Znaczenie tych transformat ujawnia się przy analizowaniu funkcji różnego rodzaju.

Jednym z kluczowych zastosowań dyskretnej transformaty Fouriera (DFT) jest analiza spektralna próbek oraz kompresja. DFT używa się też przy bardzo wydajnych algorytmach mnożenia dużych liczb całkowitych takich jak algorytm Schönhage–Strassena.

Definicja¶

Okrąg jednostkowy to figura geometryczna zadana równaniem uwikłanym $x^2+y^2=1$ . Zbiór par liczb rzeczywistych $(x,y)$ spełniających to równanie wygląda następująco.

x,y=var('x,y')
implicit_plot(x^2+y^2==1,(x,-1,1),(y,-1,1),axes=True)

Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Definicja funkcji trygonometrycznych¶

Definicja (funkcje sinus i kosinus dla okręgu)

Punkt $(x,y)$ na okręgu jednostkowym możemy opisać jednoznacznie za pomocą promienia wychodzącego z punktu $(0,0)$ i półprostej, która przecina ten okrąg. Kąt zadany przez taką półprostą obliczamy względem półdodatniej osi $OX$ . Oznaczmy ten kąt przez $\alpha$ . Definiujemy dwie funkcje

\cos: [0,2\pi) \rightarrow [-1,1]

oraz

\sin: [0,2\pi) \rightarrow [-1,1]

zadane relacją

\cos\alpha = x,

\sin\alpha = y

gdzie kąt $\alpha$ (mierzony w radianach) jest nachyleniem półprostej wychodzącej z punktu $(0,0)$ , która przecina okrąg jednostkowy $x^2+y^2=1$ w punkcie $(x,y)$ .

Gdy mamy do czynienia z kątem spoza zakresu standardowego, wartości funkcji trygonometrycznych definiujemy następująco

\sin\alpha = \sin\alpha'

gdzie $\alpha = k\cdot 2\pi+\alpha'$ i $0\leq \alpha'<2\pi$ oraz $k\in\mathbb{Z}$ jest jednoznacznie ustaloną liczbą całkowitą. Podobnie definiujemy

\cos\alpha = \cos\alpha'.

Przykład

Punkt $(1,0)$ odpowiada kątowi $\alpha=0$ . Zatem

\cos 0 = 1

oraz

\sin 0 = 0.

Zadanie

Wyznacz wartość funkcji sinus i kosinus dla kątów

$\alpha = \pi/6$ (30 stopni)
$\alpha = \pi/4$ (45 stopni)
$\alpha = \pi/3$ (60 stopni)

Sprawdzenie w SageMath¶

sin(pi/6)

1/2

cos(pi/6)

1/2*sqrt(3)

sin(pi/4)

1/2*sqrt(2)

cos(pi/4)

1/2*sqrt(2)

sin(pi/3)

1/2*sqrt(3)

cos(pi/3)

1/2

Uzasadnienie matematyczne $\cos(\pi/4)=1/\sqrt{2}$ ¶

Prosta $y=x$ wyznacza wraz z okręgiem jednostkowym trójkąt równoramienny o wierzchołkach $(0,0)$ , $(x,0)$ i $(x,x)$ . Obliczmy wartość $x$ .

gra=plot(x,(x,0,1))+implicit_plot(x^2+y^2==1,(x,0,1),(y,0,1))+line([[sqrt(2)/2,0],[sqrt(2)/2,sqrt(2)/2]],linestyle='dashed')
x1=sqrt(2)/2
gra=point([[0,0],[x1,0],[x1,x1]],color='red',pointsize=20)+gra
gra+=text('(0,0)',[0.1,0.01])
gra+=text('(x,0)',[x1+0.1,0.01])
gra+=text('(x,x)',[x1+0.1,x1])
gra

Graphics object consisting of 7 graphics primitives

wielomian=(x^2+y^2-1).subs({y:x})

solve(wielomian,x)

[x == -1/2*sqrt(2), x == 1/2*sqrt(2)]

Wartość funkcji kosinus oraz sinus dla $\pi/4$ jest dodatnia, zatem

\cos \pi/4 = \sin\pi/4 = \frac{\sqrt{2}}{2}

Uzasadnienie matematyczne $\cos(\pi/3)=1/2$ ¶

UWAGA! Rozwiązanie podane poniżej wykorzystuje pojęcie prostej, wektora oraz normy wektora.

Określamy trójkąt równoboczny (kąt wewnętrzny $\pi/3$ ) o wierzchołkach $(0,0)$ , $(1,0)$ i wierzchołku $(x,y)$ , który jest określony poprzez przecięcie trzech prostych $L_1: y=0$ , $L_2: y=ax$ i $L_3: y=bx-b$ . Proste $L_1$ , $L_2$ przecinają się w punkcie $(0,0)$ . Proste $L_1$ , $L_3$ przecinają się w punkcie $(1,0)$ , a proste $L_2$ , $L_3$ przecinają się w punkcie $(x,y)$ .

Cele:

Wyznaczenie współrzędnych $x,y$ jako funkcji zmiennych $a,b$ .
Wyznaczenie kwadratów odległości między punktami $(0,0)$ , $(1,0)$ oraz $(x,y)$ .
Porównanie (kwadratów) odległości: $x^2+y^2$ , $(x-1)^2+y^2$ oraz 1 (trójkąt równoboczny!).

x,y,a,b=var('x,y,a,b')
solve([y-a*x,y-(b*x-b)],(x,y))

[[x == -b/(a - b), y == -a*b/(a - b)]]

(x^2+y^2-((x-1)^2+y^2)).subs({x:-b/(a - b),y:-a*b/(a - b)}).simplify_full().numerator().factor()

-a - b

Uzyskaliśmy relację $a=-b$ . Podstawmy to do finalnej relacji $x^2+y^2=1$ .

(x^2+y^2-1).subs({x:-b/(a - b),y:-a*b/(a - b)}).subs({a:-b}).simplify_full().numerator().factor()

b^2 - 3

Współczynnik $b=-\sqrt{3}$ ze względu na wybór właściwego nachylenia prostej $y=bx-b$ . Uzyskaliśmy dane o punkcie $(x,y)$ .

#x
(-b/(a - b)).subs({a:-b}).subs({b:-sqrt(3)})

1/2

#y
(-a*b/(a - b)).subs({a:-b}).subs({b:-sqrt(3)})

1/2*sqrt(3)

Zgodnie z definicją uzyskujemy formuły

\cos(\pi/3) = 1/2

oraz

\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2.

#ilustracja graficzna sytuacji

x1=1/2
y1=sqrt(3)/2
gra=plot(sqrt(3)*x,(x,0,1.2),ymax=1.1)+implicit_plot(x^2+y^2==1,(x,0,1),(y,0,1))+line([[1,0],[x1,y1]],linestyle='dashed')
gra=point([[0,0],[1,0],[x1,y1]],color='red',pointsize=20)+gra
gra+=text('(0,0)',[0.1,0.01])
gra+=text('(1,0)',[1+0.1,0.01])
gra+=text('(x,y)',[x1+0.1,y1])
gra

Prawo dodawania na okręgu¶

Oznaczmy przez $[x,y]$ wektor z punktu $(0,0)$ do punktu $(x,y)$ na okręgu jednostkowym. Wektor obrócony o 90 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem wektora $[x,y]$ ma współrzędne $[-y,x]$ (uzasadnij!). Z tej zależności otrzymujemy relacje

\cos(\alpha+\pi/2) = -\sin\alpha

oraz

\sin(\alpha+\pi/2) = \cos\alpha.

Obrócony układ współrzędnych¶

Punkt $(u,v)$ na okręgu jednostkowym (a więc $u^2+v^2=1$ ) zadaje kąt $\alpha$ i wyznacza wektor $[u,v]$ oraz wektor do niego prostopadły $[-v,u]$ . Względem tych dwóch wektorów otrzymujemy ,,obrócony’’ układ współrzędnych. Przyjmując, że nowa oś $OX$ pokrywa się z półprostą wyznaczoną przez wektor $[u,v]$ , a oś $OY$ pokrywa się z półprostą wyznaczoną przez wektor $[-v,u]$ . Oznaczmy drugi punkt na okręgu jednostkowym $(x,y)$ o kącie $\beta$ . Względem nowego układu współrzędnych obrót o kąt $\beta$ zadaje w układzie współrzędnych $[1,0]$ , $[0,1]$ punkt o łącznym kącie $\alpha+\beta$ . W efekcie jest to punkt odpowiadający przejściu o $x$ jednostek względem wektora $[u,v]$ i $y$ jednostek względem wektora $[-v,u]$ . Łącznie

x[u,v]+y[-v,u] = [xu,xv]+[-vy,yu] = [ux-vy,uy+xv].

Ustaliliśmy w ten sposób ,,prawo dodawania’’ na okręgu jednostkowym. Punkt zadany przez sumę kątów $\alpha+\beta$ ma współrzędne $(xu-yv,xv+uy)$ . W terminach funkcji trygonometrycznych oznacza to

\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \cos\beta-\sin\alpha \sin\beta

i

\sin(\alpha+\beta) = \cos\alpha \sin\beta+\cos\beta\sin\alpha.

Wraz ze wzorem (jedynkowym)

\sin^2\alpha +\cos^2\alpha = 1

otrzymaliśmy komplet wzorów, które jednoznacznie identyfikują nam funkcje trygonometryczne.

Parzystość¶

Zgodnie z przyjętymi definicjami funkcja kosinus jest parzysta, tzn.

\cos(-x) = \cos x

dla dowolnego $x\in\mathbb{R}$ .

Funkcja sinus jest z kolei nieparzysta

\sin(-x) = -\sin x

dla dowolnego $x\in\mathbb{R}$ .

Różnowartościowość, surjektywność i monotoniczność¶

Ponownie analizując definicję i relację z okręgiem otrzymujemy dwie własności:

funkcja $\sin:[-\pi/2,\pi/2]\rightarrow [-1,1]$ jest różnowartościowa, surjektywna i ściśle rosnąca.
funkcja $\cos:[0,\pi]\rightarrow [-1,1]$ jest różnowartościowa, surjektywna i ściśle malejąca.

UWAGA! Do ścisłego dowodu tych własności wystarczy zauważyć, że dla zadanego kąta $\alpha\in[0,2\pi)$ z wyłączeniem kątów $\alpha=\pi/2$ oraz $\alpha=3/2\pi$ otrzymujemy prostą $y=t(\alpha)x$ dla pewnego współczynnika nachylenia $t(\alpha)$ . Podstawiając równanie tej prostej do równania okręgu otrzymujemy następujące relacje

\cos\alpha = \pm\frac{1}{\sqrt{1+t(\alpha)^2}}

oraz

\sin\alpha = \pm\frac{t(\alpha)}{\sqrt{1+t(\alpha)^2}}

gdzie wyznaczenie znaku otrzymujemy bazując na znaku funkcji $\sin,\cos$ oraz $t$ .

Zadanie (podwojenie kąta)¶

Wyprowadź następujące wzory

\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha

oraz

\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha

Powyższe wzory pozwalają w stosunkowo prosty i wydajny sposób podać formuły dokładne oraz przybliżenia numeryczne dla kosinusa i sinusa dowolnego kąta postaci $\pi/2^i$ dla $i=0,1,2,\ldots$ .

Załóżmy, że dana jest para liczb $(\cos\alpha,\sin\alpha)$ dla ustalonego kąta $\alpha\in[0,\pi/2]$ . Otrzymujemy zgodnie z powyższymi wzorami formułę

\cos\alpha/2 = \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}.

Poprzez podstawienie do ,,wzoru jedynkowego’’ otrzymujemy

\sin\alpha/2 = \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}.

alpha=var('alpha')
pretty_print(solve(cos(alpha)-((cos(alpha/2))^2-(1-cos(alpha/2)^2)),cos(alpha/2)))

Loading...

eq2=(sin(alpha/2)^2+cos(alpha/2)^2-1).substitution_delayed(cos(1/2*alpha),sqrt(1/2*cos(alpha) + 1/2))
pretty_print(solve(eq2,sin(1/2*alpha)))

Loading...

def cit(tup):
    c,s=tup
    return [sqrt((1+c)/2),sqrt((1-c)/2)]

def polowienie(n):
    x=[0,1]
    li=[x]
    for _ in range(n):
        li.append(cit(x))
        x=cit(x)
    return li

#wykres ilustruje zbliżanie się par punktów od punktu (0,1) do punktu (1,0) poprzez ciąg punktów (cos(pi/2^i),sin(pi/2^i))
gra=Graphics()
gra+=sum([point(x) for x in polowienie(7)])
gra+=plot(x,(x,-1,1))
gra.show(aspect_ratio=1)

Graphics object consisting of 8 graphics primitives

Uzasadnienie matematyczne $\cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2$ ¶

Do wyznaczenia wartości $\cos(\pi/6)$ oraz $\sin(\pi/6)$ wykorzystamy formułę na podwojenie kąta i własność $\cos(\pi/6)>0$ oraz $\sin(\pi/6)>0$ .

c,s=var('c,s')
#cos(pi/3)==cos(pi/6)^2-(1-cos(pi/6)^2)
solve(1/2-(c^2-(1-c^2)),c)

[c == -1/2*sqrt(3), c == 1/2*sqrt(3)]

#sin(pi/6)==sqrt((1-cos(pi/3))/2)
sqrt((1-c)/2).subs({c:1/2*sqrt(3)})

sqrt(-1/4*sqrt(3) + 1/2)

Zadanie (wartość funkcji kosinus dla kąta $\pi/128$ )¶

Korzystając z formuły powyżej wyznacz postać dokładną i postać numeryczną liczby $\cos(\pi/128)$ .

pretty_print(polowienie(7)[6][0].simplify_full())

Loading...

polowienie(7)[6][0].n()

0.999698818696204

cos(pi/128).n()

0.999698818696204

Zadanie (wartość funkcji sinus dla kąta $7\pi/32$ )¶

Wyznacz formułę dokładną na wartość funkcji $\sin(x)$ dla $x=7\pi/32$ .

Wystarczy zauważyć, że $7/32 = 1/4-1/32$ . Korzystając z formuły na sinusa kątów $\pi/4$ oraz $\pi/32$ oraz z formuły na sinus różnicy kątów, otrzymujemy $\sin(7\pi/32) = \sin(\pi/4)\cos(\pi/32)-\cos(\pi/4)\sin(\pi/32)$ .

# wartości cos(pi/2^k) dla k=0,..9 bardzo szybko zbiegają do 1
list_plot(polowienie(10))

Sumy trygonometryczne¶

Korzystając ze wzorów na kosinus i sinus sumy kątów możemy wyprowadzić następujące wzory

\cos x+\cos y = 2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})

\sin x+\sin y = 2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}).

Zadanie (wzory na sumy)¶

Wyprowadź powyższe wzory.

Zadanie (suma sinusa i kosinusa)¶

Uzasadnij, że

\sin x+\cos x = \sqrt{2} \sin(x+\pi/4).

x=var('x')
pp=plot(sin(x)+cos(x),(x,-2*pi,2*pi))+plot([sqrt(2),-sqrt(2)],(x,-2*pi,2*pi),linestyle='dashed',color='red')
pp+=line([(pi/4,0),(pi/4,sqrt(2))],color='green',linestyle='dashed')
pp+=text(r'$\sqrt{2}$', (-0.3, 1.3), color='black')
pp+=text(r'$\sqrt{2}$', (-0.3, 1.3), color='black')
pp+=text(r'$\pi/4$', (pi/4, -0.1), color='black')
pp+=text(r'$y=sin(x)+cos(x)$', (3.2, 1), color='black')
pp.show()

Tangens i kotangens¶

Współczynnik nachylenia prostej $y=t(\alpha)x$ dla zadanego kąta $\alpha\in[0,2\pi)$ z wyłączeniem wartości $\alpha=\pi/2,3/2\pi$ nazywamy tangensem kąta $\alpha$ i oznaczamy $\tan\alpha$ . Zgodnie z równaniem okręgu i definicją funkcji sinus i kosinus zachodzi relacja

\tan \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.

Kotangensem kąta $\alpha$ (różnego od 0 i $\pi$ ) nazywamy liczbę oznaczaną $\cot\alpha$ i zdefiniowaną wzorem

\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}.

Dla liczby $\alpha\in\mathbb{R}$ stosujemy definicję, w której funkcje kosinus i sinus są obliczane zgodnie z formułą redukcyjną podaną wcześniej. W szczególności wartości kotangensa i tangensa powtarzają się po przesunięciu argumentu o dowolną wielokrotność liczby $\pi$ .

Wykres funkcji trygonometrycznych¶

Możemy teraz naszkicować wykresy funkcji trygonometrycznych zdefiniowanych w tym rozdziale

x=var('x')
plot(cos(x),(x,-2*pi,2*pi))

x=var('x')
plot(sin(x),(x,-2*pi,2*pi))

x=var('x')
plot(tan(x),(x,-pi,pi), detect_poles='show',color='green',ymin=-10,ymax=10)

Graphics object consisting of 5 graphics primitives

x=var('x')
plot(cot(x),(x,-2*pi,2*pi), detect_poles='show',color='green',ymin=-10,ymax=10)

Okresowość¶

Funkcje kosinus i sinus są $2\pi$ -okresowe i jest to ich okres minimalny. Oznacza to, że

\cos(x+2\pi) = \cos(x)

oraz

\sin(x+2\pi) = \sin(x)

dla dowolnego $x\in\mathbb{R}$ i podobna własność nie jest prawdą dla żadnej liczby $T$ dodatniej, mniejszej od $2\pi$ .

Funkcje kotangens i tangens są $\pi$ -okresowe i jest to ich okres minimalny.

Podstawienie uniwersalne¶

Funkcje kosinus, sinus oraz tangens można powiązać za pomocą tzw. podstawienia uniwersalnego. Jego znaczenie omówimy poniżej.

We wszystkich wyprowadzeniach poniżej przyjmujemy, że kąty $\alpha$ nie są postaci $k/2\pi$ dla żadnej liczby całkowitej $k$ .

Zgodnie z jedynką trygonometryczną, otrzymujemy

\tan^2(\alpha) +1 = \frac{1}{\cos^2\alpha}

Z formuły na podwojenie funkcji kosinus otrzymujemy

\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha)-1

i po podstawieniu

\cos(2\alpha) = \frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}.

Z formuły na podwojenie funkcji sinus otrzymujemy

\sin(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}.

Powyższe wzory nazywamy podstawieniem uniwersalnym, ponieważ pozwalają nam wyrazić wartości funkcji trygonometrycznych kosinus ( $\cos\alpha$ ) i sinus ( $\sin\alpha$ ) za pomocą formuły (wymiernej) jednej zmiennej ( $t=\tan(\alpha/2)$ ). W syntetycznej formie

(\cos\alpha,\sin\alpha) = (\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})

gdzie $t = \tan(\alpha/2)$ .

Ponadto $\tan\alpha = \frac{2t}{1-t^2}$ .

UWAGA!

Formuła daje również poprawne wartości, o ile przyjmiemy poprawne konwencje dotyczące granic funkcji $\tan\alpha$ przy zbliżaniu się do wartości nieoznaczonych. Sprawdź!

Parametryzacja wymierna okręgu¶

Charakteryzację punktów na okręgu jednostkowym $x^2+y^2=1$ za pomocą parametru $t$ oraz dwóch zmiennych $(x,y) = (\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$ nazywamy parametryzacją wymierną (ze względu na $t$ ) okręgu.

t=var('t')
parametric_plot(((t^2-1)/(t^2+1),2*t/(t^2+1)),(t,-10,10))

Znaczenie podstawienia uniwersalnego¶

Podstawienie uniwersalne pozwala przekształcić dowolną formułę trygonometryczną wykorzystującą pojedynczą zmienną $\alpha$ oraz całkowite wielokrotności tej zmiennej i operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia do postaci pewnej funkcji wymiernej (zmiennej $t=\tan(\alpha/2)$ ). Uproszczenie takiej formuły do postaci najkrótszej jest wówczas rutynowym zadaniem na wyrażenia podobne dla wielomianów oraz algorytm dzielenia wielomianów z resztą.

Jednym z podstawowych zastosowań jest redukcja całek trygonometrycznych do całek wymiernych. O tym będziemy się uczyć na analizie matematycznej.

Drugim ważnym zastosowaniem jest możliwość szybkiego wyznaczania funkcji trygonometrycznych. Klasycznym algorytmem, który wykorzystuje te idee, jest CORDIC (COordinate Rotation DIgital Computer). Jest to algorytm w klasie shift-and-add wynaleziony w latach 50. XX wieku przez Jacka Voldera. Pozwala on w wydajny sposób obliczać wartości funkcji trygonometrycznych mając do dyspozycji tylko podstawowe operacje arytmetyczne oraz tablicę wartości referencyjnych.

Zadanie (upraszczanie tożsamości)¶

Uzasadnij za pomocą podstawienia uniwersalnego, że wyrażenie $\sin^4(x) + \cos^4 x - 1/2\cos^2(2 x) - 1/2$ upraszcza się do zera.

Wskazówka: Wykorzystaj dwie zmienne $t=\tan(x/2)$ oraz $t_2 = \tan(x)$ i ich związek $t_2 = \frac{2t}{1-t^2}$ .

#sprawdzenie automatyczne
#w krokach wykorzystujemy trig_expand() do usunięcia wielokrotnego kosinusa
#następnie podstawiamy formuły uniwersalne
#a w kolejnym kroku porządkujemy wyrażenie wymierne
x,t=var('x,t')

wyr=((sin(x))^4 + (cos(x))^4 - 1/2*(cos(2*x)^2) - 1/2).trig_expand().substitution_delayed(sin(x),2*t/(1+t^2)).substitution_delayed(cos(x),(1-t^2)/(1+t^2))
wyr.simplify_full()

0

Algorytm CORDIC¶

W poniższych kilku zadaniach opiszemy sposób na wyznaczanie (jednoczesne) pary dwóch funkcji trygonometrycznych $(\cos\alpha,\sin\alpha)$ dla kątów $0 < \alpha < \pi/2$ . Jest to jedyny przedział, w którym musimy wyznaczać wartości funkcji trygonometrycznych bezpośrednim rachunkiem. W pozostałych przedziałach liczb rzeczywistych stosujemy parzystość funkcji oraz jej okresowość.

CORDIC - tożsamości¶

Uzasadnij korzystając z tożsamości podanych wcześniej, że zachodzą dla dowolnego kąta $\alpha$ oraz kąta $0<\beta<\pi/2$ następujące tożsamości

$\sqrt{1+\tan^2\beta}\cos(\alpha\pm \beta) = \cos\alpha \mp \tan\beta \sin\alpha$
$\sqrt{1+\tan^2\beta}\sin(\alpha\pm \beta) = \sin\alpha \pm \tan\beta \cos\alpha$

CORDIC - wartości specjalne¶

Teraz zaprojektujemy algorytm, który wyznacza (ustalone) przybliżenia numeryczne dla kątów $\beta_i$ w przedziale $(0,\pi/2)$ spełniających relacje

\tan\beta_i = \frac{1}{2^i}

Dla $i=0$ wartość kąta $\beta_0$ wynosi $\pi/4$ .

Wartość kąta $\beta_1$ , dla którego $\tan\beta_1 = 1/2$ , wyznaczymy numerycznie z zadaną dokładnością. Zauważmy, że znamy metodę wyznaczania wartości funkcji tangens dla kątów $\pi/2^i$ . Korzystając z formuły na sinusa i kosinusa sumy kątów, otrzymamy

\tan(\alpha+\beta) =\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta},

Mając więc dany w kroku $n$ -tym tangens $t_n$ kąta $\pi/2^n$ otrzymujemy formułę na tangens $t_{n+1}$ kąta $\pi/2^{n+1}$ następująco

t_n=\frac{2t_{n+1}}{1-t_{n+1}^2}

i korzystając z dodatniości obu wyrażeń wyprowadzamy wzór rekurencyjny

t_{n+1} = -\frac{1}{t_{n}}+\frac{\sqrt{1+t_{n}^2}}{t_n}.

def tanstep(t):
    return -1/t+sqrt(1+t^2)/t

def tan2(n):
    t=(pi/4,1)
    tli=[t]
    for _ in range(n):
        t=(t[0]/2,tanstep(t[1]))
        tli.append(t)
    return tli

[[x[0],x[1].n()] for x in tan2(7)]

[[1/4*pi, 1.00000000000000],
 [1/8*pi, 0.414213562373095],
 [1/16*pi, 0.198912367379658],
 [1/32*pi, 0.0984914033571647],
 [1/64*pi, 0.0491268497694666],
 [1/128*pi, 0.0245486221089237],
 [1/256*pi, 0.0122724623795705],
 [1/512*pi, 0.00613600015762472]]

W kolejnym kroku wykorzystamy tablicę wyznaczonych wartości $\tan\pi/2^n$ do obliczenia wartości $\beta_i$ , dla których $\tan\beta_i = 1/2^i$ . Startując od wartości tangensa dla $\pi/4$ , która wynosi 1, będziemy korygować tę wartość korzystając z tożsamości

\tan(x+y) = \frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y}.

Mając dane przybliżenie $\beta_i^{m}$ w $m$ -tym kroku spełniające własność $\tan\beta_i^{m} < 1/2^i$ poszukujemy na liście elementów $\tan\pi/2^j$ takiej pozycji $j$ , aby indeks $j$ był najmniejszym możliwym, dla którego zachodzi

\tan(\beta_{i}^m+\pi/2^j) < 1/2^i.

W ten sposób otrzymujemy wartość $\beta_{i}^{m+1} = \beta_{i}^m+\pi/2^j$ i w kolejnym kroku będziemy przeszukiwać listę od indeksu $j+1$ wzwyż. Algorytm zatrzymujemy w momencie, gdy osiągnęliśmy pożądaną wartość błędu $1/2^i - \tan(\beta_i^{m}) < \epsilon$ dla zadanego z góry $\epsilon$ .

def tanGen(prec):
    t=(pi/4,RealField(prec)(1))
    yield t
    while True:
        t=(t[0]/2,tanstep(t[1]))
        yield t

def t(A,B):
    return (A+B)/(1-A*B)

def Beta(i,prec,epsilon):
    if i==0:
        return (pi/4,RealField(prec)(1))
    a=tanGen(prec)
    kres=1/2^i
    beta=0
    tbeta=RealField(prec)(0)
    astep=(0,RealField(prec)(0))
    
    while True:
        beta+=astep[0]
        astep=next(a)
        tstep=t(tbeta,astep[1])
        while tstep > kres:
            astep=next(a)
            tstep=t(tbeta,astep[1])
        tbeta=tstep
        if kres-tbeta <= epsilon:
            return (beta+astep[0],tbeta)

[Beta(i,100,10^(-10)) for i in [0..10]]

[(1/4*pi, 1.0000000000000000000000000000),
 (5070934489/34359738368*pi, 0.49999999990035765720922114811),
 (2679342517/34359738368*pi, 0.24999999990959789595212387809),
 (1360076097/34359738368*pi, 0.12499999991952645792755488633),
 (42667331/2147483648*pi, 0.062499999917698551970573841998),
 (341671445/34359738368*pi, 0.031249999948421089681982516737),
 (170877413/34359738368*pi, 0.015624999930512532503403664797),
 (85443921/34359738368*pi, 0.0078124999895466838245222201309),
 (10680653/8589934592*pi, 0.0039062499610521905952177749260),
 (21361387/34359738368*pi, 0.0019531249360535920183539559400),
 (83443/268435456*pi, 0.00097656249674699430942650687966)]

W ostatnim kroku obliczymy przybliżenie wartości $(\cos\alpha,\sin\alpha)$ dla kąta $\alpha$ w przedziale $(0,\pi/2)$ stosując korekty wartości referencyjnych dla kątów $\beta_i$ oraz ich tangensów $\tan\beta_i = 1/2^i$ (z dokładnością do $\epsilon$ błędu)

$\sqrt{1+2^{-2i}}\cos(\alpha_i\pm \beta_i) = \cos\alpha_i \mp 2^{-i} \sin\alpha_i$
$\sqrt{1+2^{-2i}}\sin(\alpha_i\pm \beta_i) = \sin\alpha_i \pm 2^{-i} \cos\alpha_i$

Za wartość początkową przyjmujemy $\alpha_0=\alpha$ . W $i$ -tym kroku, jeśli aktualna wartość jest dodatnia, odejmujemy kąt $\beta_i$ , w przeciwnym przypadku dodajemy. Odwzorowujemy też ten efekt na obliczanych funkcjach trygonometrycznych.

def Cordic(alpha,n,prec,epsilon):
    beta=[Beta(i,prec,epsilon) for i in range(n+1)]
    
    c=RealField(prec)(1)
    s=RealField(prec)(0)
    alphatmp=RealField(prec)(alpha)
    pow2=RealField(prec)(1)
    
    for i in range(0,n+1):
        if alphatmp>=0:
            sigma=1
        else:
            sigma=-1
        c,s=RealField(prec)(1/sqrt(1+pow2^2)*(c-sigma*pow2*s)),RealField(prec)(1/sqrt(1+pow2^2)*(s+sigma*pow2*c))
        pow2/=2
        alphatmp-=sigma*RealField(prec)(beta[i][0])
    return (c,s,alphatmp)

#przykładowe obliczenie numeryczne cos(1) i sin(1) w 40 krokach iteracji na liczbach ze 100 bitową precyzją i tolerancją błędu 10^(-12)

#zwrócone wartości to (cos(1),sin(1), bład kątą)
Cordic(1,40,100,10^(-12))

(0.54030230586931977050317848782,
 0.84147098480713880326914124188,
 3.7994145047196532351921549346e-13)

Porównując wartość obliczoną geometrycznie $\cos(\pi/4)=1/\sqrt{2}$ z przybliżeniem wyznaczonym w 40 iteracjach algorytmu CORDIC otrzymujemy prawidłową wartość z 16-cyfrową precyzją.

Warto zaznaczyć, że podstawowe kroki iteracji algorytmu CORDIC to dodawanie liczb zmiennoprzecinkowych oraz mnożenie przez potęgi 2, które realizuje się operacją shift, która jest znacząco szybsza niż ogólne mnożenie zmiennoprzecinkowe.

a=pi/4
vector(Cordic(a,50,200,10^(-20))[0:2])-vector([(1/sqrt(2)).n(200),(1/sqrt(2)).n(200)])

(-5.7700458367192628175046408339313819966904942745512160692812e-16, 5.7700458367192581091027638255049221908773500864782978560239e-16)

#wzrost precyzji wraz ze wzrostem liczby iteracji algorytmu CORDIC
list_plot([log(abs(Cordic(pi/4,k,100,10^(-20))[0]-(1/sqrt(2))),10) for k in range(3,50)])+plot(-1/3*x,(x,0,50))

Graphics object consisting of 2 graphics primitives

Funkcje cyklometryczne¶

Funkcje kosinus, sinus, kotangens i tangens są bijekcjami, gdy ograniczymy je do odpowiednich przedziałów. W przypadku funkcji $f:A\rightarrow B$ bijektywnej możemy skonstruować funkcję $f^{-1}:B\rightarrow A$ spełniającą relacje $f(f^{-1}(y))=y$ dla dowolnego $y\in B$ oraz $f^{-1}(f(x))=x$ dla dowolnego $x\in A$ .

Funkcja odwrotna do sinusa¶

Definiujemy funkcję $arcsin:[-1,1]\rightarrow [-\pi/2,\pi/2]$ . Jest to funkcja odwrotna do funkcji $sin:[-\pi/2,\pi/2]\rightarrow [-1,1]$ .

Funkcję nazywamy arkus sinusem.

x=var('x')
plot(arcsin(x),(x,-1,1))

Funkcja odwrotna do kosinusa¶

Definiujemy funkcję $arccos:[-1,1]\rightarrow [0,\pi]$ . Jest to funkcja odwrotna do funkcji $cos:[0,\pi]\rightarrow [-1,1]$ .

Funkcję nazywamy arkus kosinusem.

x=var('x')
plot(arccos(x),(x,-1,1))

Funkcja odwrotna do tangensa¶

Definiujemy funkcję $arctan:\mathbb{R}\rightarrow (-\pi/2,\pi/2)$ . Jest to funkcja odwrotna do funkcji $tan:(-\pi/2,\pi/2)\rightarrow \mathbb{R}$ .

Funkcję nazywamy arkus tangensem.

x=var('x')
plot(arctan(x),(x,-20,20))

Funkcja odwrotna do kotangensa¶

Definiujemy funkcję $arccot:\mathbb{R}\rightarrow (0,\pi)$ . Jest to funkcja odwrotna do funkcji $cot:(0,\pi)\rightarrow \mathbb{R}$ .

Funkcję nazywamy arkus kotangensem.

x=var('x') #uwaga: wbudowana w SageMath funkcja arccot ma inną normalizację!
plot(pi-arccot(-x),(x,-20,0))+plot(arccot(x),(x,0,20))

Zadanie (ciekawostka z arkusem tangensem)¶

Udowodnij równość

arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) = \pi.

Wskazówka: wykorzystaj wzór

\tan (x+y) = \frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\cdot\tan y}

oraz zauważ, że suma $arctan(2) + arctan(3)$ daje kąt w przedziale $(\pi/2,\pi)$ .

Wstęp¶

Definicja¶

Definicja funkcji trygonometrycznych¶

Sprawdzenie w SageMath¶

Uzasadnienie matematyczne cos⁡(π/4)=1/2\cos(\pi/4)=1/\sqrt{2}cos(π/4)=1/2​¶

Uzasadnienie matematyczne cos⁡(π/3)=1/2\cos(\pi/3)=1/2cos(π/3)=1/2¶

Prawo dodawania na okręgu¶

Obrócony układ współrzędnych¶

Parzystość¶

Różnowartościowość, surjektywność i monotoniczność¶

Zadanie (podwojenie kąta)¶

Uzasadnienie matematyczne cos⁡(π/6)=3/2\cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2cos(π/6)=3​/2¶

Zadanie (wartość funkcji kosinus dla kąta π/128\pi/128π/128)¶

Zadanie (wartość funkcji sinus dla kąta 7π/327\pi/327π/32)¶

Sumy trygonometryczne¶

Zadanie (wzory na sumy)¶

Zadanie (suma sinusa i kosinusa)¶

Tangens i kotangens¶

Wykres funkcji trygonometrycznych¶

Okresowość¶

Podstawienie uniwersalne¶

Parametryzacja wymierna okręgu¶

Znaczenie podstawienia uniwersalnego¶

Zadanie (upraszczanie tożsamości)¶

Algorytm CORDIC¶

CORDIC - tożsamości¶

CORDIC - wartości specjalne¶

Funkcje cyklometryczne¶

Funkcja odwrotna do sinusa¶

Funkcja odwrotna do kosinusa¶

Funkcja odwrotna do tangensa¶

Funkcja odwrotna do kotangensa¶

Zadanie (ciekawostka z arkusem tangensem)¶

Uzasadnienie matematyczne $\cos(\pi/4)=1/\sqrt{2}$ ¶

Uzasadnienie matematyczne $\cos(\pi/3)=1/2$ ¶

Uzasadnienie matematyczne $\cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2$ ¶

Zadanie (wartość funkcji kosinus dla kąta $\pi/128$ )¶

Zadanie (wartość funkcji sinus dla kąta $7\pi/32$ )¶