27. Krzywe i powierzchnie zadane parametrycznie. - Wstęp do matematyki 06-DPMALI0

Treści kształcenia: Podstawy geometrii analitycznej. Podstawy rachunku wektorów i ich zastosowania. Równania prostych i powierzchni. Równanie prostej - postać kierunkowa i ogólna, warunek równoległości i prostopadłości prostych, odległość dwóch punktów i punktu od prostej, równanie okręgu. Krzywe i powierzchnie zadane parametrycznie.

Efekty kształcenia: Potrafi wykorzystać rachunek wektorowy w odniesieniu do obiektów geometrycznych. Operuje równaniami w opisach geometrycznych.

Opis parametryczny zbioru¶

Mówimy, że krzywa na płaszczyźnie jest zadana parametrycznie, jeżeli jest ona podana w postaci zbioru:

\{ (x(t), y(t)) : t \in (a, b) \}

dla pewnych funkcji $x(t), y(t) : (a, b) \to \mathbb R$ . Podobnie opisać można krzywą w przestrzeni. Z opisem tym spotkaliśmy się już przy prostych.

Aby opisać powierzchnię w przestrzeni, należy użyć dwóch parametrów, tzn. zapisać ją w postaci:

\{ (x(s, t), y(s, t), z(s, t)) : s \in (a, b), t \in (c, d) \}

dla pewnych funkcji $x(s, t), y(s, t), z(s, t) : (a, b) \times (c, d) \to \mathbb R$ . W ten sposób przedstawialiśmy płaszczyzny.

Przykład - postać parametryczna wykresu funkcji¶

Znajdź postać parametryczną krzywej $y = x \cdot \sin(x)$ dla $x \in \mathbb R$ .

Odpowiedź: $\{ (t, t \cdot \sin t) : t \in \mathbb R \}$ .

Uwaga: w podobny sposób sparametryzować można dowolny wykres funkcji.

parametric_plot((t, sin(t)*t), (t, -7, 7), color = "green")

Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Równanie parametryczne okręgu¶

Rozważmy okrąg jednostkowy. Jest on zadany równaniem $x^2 + y^2 = 1$ . Niech $P = (x, y)$ będzie punktem na tym okręgu, takim, że odcinek $OP$ tworzy kąt $\alpha \in (0^o, 90^o)$ z osią $OX$ . Rozważmy trójkąt $OPP'$ (zaznaczony na poniższym rysunku na czerwono).

#Rysunek ilustrujący powyższy tekst.
rysunek = circle((0,0),1,rgbcolor = (0,0,0))
theta = pi/3
rysunek += point((cos(theta), sin(theta)), color= "black", size = 40)
rysunek += point((cos(theta), 0), color= "black", size = 40)
rysunek += point((0, 0), color= "black", size = 40)
rysunek += line([(0, 0), (cos(theta), sin(theta))], linestyle = "--", color = "red")
rysunek += line([(cos(theta), 0), (cos(theta), sin(theta))], linestyle = "--", color = "red")
rysunek += line([(cos(theta), 0), (0, 0)], linestyle = "--", color = "red")
rysunek += text(r"$\alpha$", (0.2, 0.1), fontsize = 30)
rysunek += text("P", (cos(theta), sin(theta)+0.1), fontsize = 30)
rysunek += text("P'", (cos(theta)+0.1, 0.1), fontsize = 30)
rysunek += text("O", (-0.1, 0.1), fontsize = 30)
rysunek.show()

Graphics object consisting of 11 graphics primitives

Wówczas z definicji funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych (jako stosunku boków w trójkącie prostokątnym) mamy $\cos \alpha = \frac{|OP'|}{|OP|} = \frac{x}{1}$ oraz $\sin \alpha = \frac{|PP'|}{|OP|} = \frac{y}{1}$ , czyli:

(x, y) = (\cos \alpha, \sin \alpha). \qquad (*)

Zauważmy, że równanie $x^2 + y^2 = 1$ jest spełnione na mocy jedynki trygonometrycznej.

Okazuje się, że zależność $(*)$ zachodzi dla dowolnego kąta $\alpha$ na mocy definicji funkcji trygonometrycznej. Zatem okrąg jednostkowy to zbiór punktów:

\{ (\cos \alpha, \sin \alpha) : \alpha \in [0^o, 360^o] \}.

Możemy upewnić się, że tak określone współrzędne spełniają równanie okręgu za pomocą Sage’a.

#Sprawdzenie, że współrzędne spełniają równanie okręgu.
var('t')
X = cos(t)
Y = sin(t)
print((X^2 + Y^2 - 1).trig_simplify())

Związek funkcji trygonometrycznych z okręgiem można prześledzić również na poniższej animacji.

# Kod animacji pokazującej związek okręgu z funkcjami trygonometrycznymi.
def par(theta):
    var('t')
    mac = circle((0,0),1,rgbcolor = (0,0,0))
    mac += plot(sin(x), (x, 0, 7), color = "red")
    mac += parametric_plot((cos(t), t), (t, 0, 7), color = "green")
    mac += point((cos(theta), sin(theta)), color= "black", size = 40)
    mac += point((theta, sin(theta)), color= "red", size = 40)
    mac += point((cos(theta), theta), color= "green", size = 40)
    mac += line([(cos(theta), sin(theta)), (theta, sin(theta))], linestyle = "--", color = "red")
    mac += line([(cos(theta), sin(theta)), (cos(theta), theta)], linestyle = "--", color = "green")
    return mac
 
liczba_klatek = 30
a2 = animate([par(2*pi/liczba_klatek*i) for i in range(liczba_klatek + 1)])
a2.show()

Loading...

Przykład - elipsa¶

Znajdź równanie parametryczne elipsy zadanej równaniem:

4 x^2 + \frac{y^2}{9} = 1

Odpowiedź: $x(t) = \frac 12 \cos t$ , $y(t) = 3 \sin t$ .

#Sprawdzenie, że współrzędne spełniają równanie elipsy.
var('t')
X = 1/2*cos(t)
Y = 3*sin(t)
print((4*X^2 + 1/9*Y^2 - 1).trig_simplify())

#Narysujmy elipsę zadaną równaniem.
var('x, y')
implicit_plot(4*x^2 + y^2/9 - 1, (x, -5, 5), (y, -5, 5))

#Narysujmy elipsę zadaną parametrycznie.
var('t')
parametric_plot((1/2*cos(t), 3*sin(t)), (t, -5, 5))

Przykład - helisa¶

(a) Narysuj w przestrzeni krzywą zadaną parametrycznie w następujący sposób:

(x(t), y(t), z(t)) = (\cos t, \sin t, t), \qquad t \in \mathbb R.

(b) Które z punktów $P_1 = (- \frac 12, - \frac{\sqrt 3}{2}, \frac{5 \pi}{3})$ , $P_2 = (-\frac 12, \frac{\sqrt 3}{2}, \frac{2\pi}{3})$ należą do tej helisy?

#GRAFIKA 3D
#(a) Narysujmy helisę zadaną parametrycznie.
image = parametric_plot3d((cos(t), sin(t), t), (t, -10, 10))
image.show()
# Wersja statyczna.
image.show(viewer = 'tachyon')

Loading...

# (b)
t = 5*pi/3
print((cos(t), sin(t)) == (-1/2, -sqrt(3)/2))
t = 2*pi/3
print((cos(t), sin(t)) == (-1/2, sqrt(3)/2))

False
True

Odp. Tylko punkt $P_2$ .

Przykład - walec¶

(a) Narysuj w przestrzeni powierzchnię zadaną parametrycznie w następujący sposób:

(x(t, u), y(t, u), z(t, u)) = (\cos t, \sin t, u), \qquad t, u \in \mathbb R.

(b) Które z punktów $P_1 = (- \frac 12, - \frac{\sqrt 3}{2}, \frac{5 \pi}{3})$ , $P_2 = (-\frac 12, \frac{\sqrt 3}{2}, \frac{2\pi}{3})$ należą do tego walca?

#GRAFIKA 3D
# (a) Narysujmy walec zadany parametrycznie.
var('t, u')
image = parametric_plot3d((cos(t), sin(t), u), (t, -10, 10), (u, -3, 3), opacity = 0.3)
image.show()
# Wersja statyczna
image = parametric_plot3d((cos(t), sin(t), u), (t, -10, 10), (u, -3, 3), opacity = 0.8)
image.show(viewer='tachyon')

Loading...

(b) Obydwa punkty.

Przykład - torus¶

Wykaż, że powierzchnia zadana parametrycznie w następujący sposób:

x=\cos(t)\left(4+\cos(u)\right),

y=\sin(t)\left(4+\cos(u)\right),

z =\sin(u)

dla $t, u \in [0^o, 360^o]$ , spełnia równanie:

\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-4\right)^{2}+z^{2}=1^{2}.

#GRAFIKA 3D
# Narysujmy torus zadany równaniem.
var('x', 'y', 'z')
F = (sqrt(x^2 + y^2) - 4)^2 + z^2 - 1
image = implicit_plot3d(F, (x,-5,5), (y,-5,5), (z,-5,5), color='mediumspringgreen')
image.show()
# Wersja statyczna
image.show(viewer='tachyon')

Loading...

# Zauważmy, że Sage nie zawsze radzi sobie ze sprawdzeniem tożsamości. Czy umiesz ręcznie dokończyć jego obliczenia?
var('t', 'u')
X = cos(t)*(4 + cos(u))
Y = sin(t)*(4 + cos(u))
Z = sin(u)
((sqrt(X^2 + Y^2) - 4)^2 + Z^2 - 1).trig_simplify()

-8*sqrt(cos(u)^2 + 8*cos(u) + 16) + 8*cos(u) + 32

Przykład - hiperboloidy¶

Niech $d$ będzie ustaloną liczbą rzeczywistą. Wykaż, że powierzchnia zadana parametrycznie:

(x(s, t), y(s, t), z(s, t)) = (\sqrt{s^2 + d} \cos(t), \sqrt{s^2 + d} \cdot \sin(t), s)

spełnia równanie $x^2 + y^2 - z^2 = d$ . W zależności od parametru $d$ , jest to hiperboloida jednopowłokowa, dwupowłokowa lub podwójny stożek. Czy korzystając z poniższego apletu możesz się domyślić, dla jakiego $d$ zachodzi jaki przypadek?

#aplet rysujący powierzchnię x^2 + y^2 - z^2 = d dla różnych wartości d.
def hiperboloidy(d):
    var('s, t')
    return parametric_plot3d((sqrt(s^2 + d)*cos(t), sqrt(s^2 + d)*sin(t), s), (s, -10, 10), (t, -10, 10))
    
@interact
def _(d = slider(-3, 3, 0.1)):
    hiperboloidy(d).show()

#Wersja statyczna apletu.
for d in [-1, 0, 1]:
    print("d = %s"%(d))
    hiperboloidy(d).show(viewer='tachyon')

d = -1

d = 0

d = 1

Zadania dodatkowe¶

Zadanie nr 1¶

(a) Znajdź równanie sfery o środku w $(0, 0, 0)$ oraz promieniu 1.

(b) Wykaż, że $(x(t, u), y(t, u), z(t, u)) = (\cos(t) \cdot \sin(u), \sin(t)\cdot \sin(u), \cos(u))$ , $t, u \in \mathbb R$ spełniają równanie sfery.

Zadanie nr 2¶

(a) Wykaż, że $(x(t), y(t)) = (\frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \frac{2t}{1 + t^2})$ , $t \in \mathbb R$ , stanowi inną parametryzację okręgu jednostkowego $x^2 + y^2 = 1$ bez punktu $(-1, 0)$ .

(b) Jakiemu argumentowi $t$ odpowiada punkt $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt 3}2)$ ?

Zadanie nr 3¶

Znajdź dowolną parametryzację krzywej $y^2 = x^3$ .

Wskazówka: znajdź taką parametryzację, w której $x$ oraz $y$ są potęgami zmiennej $t$ .