25. Proste i płaszczyzny - Wstęp do matematyki 06-DPMALI0

Treści kształcenia: Podstawy geometrii analitycznej. Podstawy rachunku wektorów i ich zastosowania. Równania prostych i powierzchni. Równanie prostej - postać kierunkowa i ogólna, warunek równoległości i prostopadłości prostych, odległość dwóch punktów i punktu od prostej, równanie okręgu. Krzywe i powierzchnie zadane parametrycznie.

Efekty kształcenia: Potrafi wykorzystać rachunek wektorowy w odniesieniu do obiektów geometrycznych. Operuje równaniami w opisach geometrycznych.

Równania prostej na płaszczyźnie¶

Przedstawimy teraz kilka sposobów opisu prostych na płaszczyźnie. Dobre zrozumienie tych metod pomoże nam przy rozpatrywaniu bardziej zaawansowanych obiektów geometrycznych, np. prostych w przestrzeni.

Równaniem kierunkowym prostej na płaszczyźnie nazywamy równanie:

y = ax + b.

W równaniu tym liczbę $a$ nazywamy współczynnikiem kierunkowym, zaś liczbę $b$ wyrazem wolnym.

Dwie proste $\ell : y = ax + b$ oraz $\ell' : y = a' x + b'$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy $a = a'$ oraz prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $a \cdot a' = -1$ .

Zauważmy jednak, że nie każda prosta ma równanie kierunkowe. Dzieje się tak w przypadku prostych równoległych do osi OY. Mają one równania postaci $x = c$ i nie są wykresem żadnej funkcji. Pozostałe proste mają dokładnie jedno równanie kierunkowe. Z tego powodu mówi się również o równaniu ogólnym prostej:

Ax + By =C,

gdzie $(A, B) \neq (0, 0)$ . Każda prosta ma równanie ogólne, jednak nie jest ono jednoznacznie wyznaczone (zawsze można je pomnożyć przez stałą).

Opiszemy teraz równanie parametryczne prostej. Zauważmy, że jeżeli nasza prosta przechodzi przez $(0, 0)$ , to powstaje ona przez skalowanie pewnego wektora $\vec w$ :

# Ilustracja - wielokrotności wketora tworzą prostą
w = vector((1, 2))
eps = vector((0.2, 0)) #wektor pomocniczy korygujący tekst
image = ((2*w).plot(color = "red")) + text("2w", tuple(2*w+eps), fontsize = 20, color = 'black')
image += w.plot() + text("w", tuple(w+eps), fontsize = 20, color = 'black')
image += ((-4*w).plot(color = "orange")) + text("-4w", tuple(-4*w+eps), fontsize = 20, color = 'black')
image += ((-3*w).plot(color = "green")) + text("-3w", tuple(-3*w+eps), fontsize = 20, color = 'black')
image += ((-1.7*w).plot(color = "yellow")) + text("-1.7 w", tuple(-1.7*w+eps), fontsize = 20, color = 'black')
image.show()

Graphics object consisting of 10 graphics primitives

W ogólnym przypadku, możemy najpierw rozważyć wektor $\vec v$ z punktu $(0, 0)$ do dowolnego punktu $(x_0, y_0)$ na prostej, a potem “poruszać” się po prostej skalując wektor $\vec w$ . Za wektor $\vec w$ można przyjąć wektor pomiędzy dowolnymi dwoma różnymi punktami na prostej.

Podsumowując, prosta jest zadana jako zbiór punktów $\{ \vec v + t \cdot \vec w : t \in \mathbb R \}$ , czyli (jeżeli $\vec v = (x_0, y_0)$ , zaś $\vec w = (a, b)$ ):

x = x_0 + t \cdot a, \quad y = y_0 + t \cdot b \qquad \textrm{ dla } t \in \mathbb R.

Przykład - równanie parametryczne prostej na płaszczyźnie¶

Znajdź równanie kanoniczne i parametryczne prostej:

(a) $-2x + y = 6$ ,

(b) $x = 6$ .

Przykładowa odpowiedź do podpunktu (a):

(wektor $\vec v = (-1, 4)$ , wektor $\vec{w} = (1, 2)$ , czyli wektor między $(-1, 4)$ a $(0, 6)$ )

(x(t), y(t)) = (-1 + t, 4 + 2t),

Przykładowa odpowiedź do podpunktu (b):

(wektor $\vec v = (6, 0)$ , wektor $\vec w = (0, 1)$ to wektor między $(6, 0)$ a $(6, 1)$ )

(x(t), y(t)) = (6, t).

def prosta_parametrycznie(t):
    var('x')
    p = parametric_plot((-1 + x, 4 + 2*x), (x, -10, 10), color = "red")
    p += arrow((-1, 4), (-1 + t, 4 + 2*t))
    p += plot(vector((-1, 4)))
    return p    

@interact
def _(t = slider(-3, 3, 0.1)):
    prosta_parametrycznie(t).show(ymin = -10, ymax = 10, xmin = -10, xmax = 10)
    
aplet = [prosta_parametrycznie(t0) + text("t = %s"%(t0), (5, 5)) for t0 in [-5, -2, 2, 5]]

# Wersja statyczna powyższego apletu.
g1=graphics_array(aplet,ncols=4)
g1.show(figsize=[10,10], aspect_ratio = 1)

Równania płaszczyzny¶

Dowolna płaszczyzna $\pi$ zadana jest równaniem ogólnym $Ax + By + Cz = D$ , gdzie $(A, B, C) \neq (0, 0, 0)$ . Na równanie to można patrzeć w następujący sposób. Niech $(x_0, y_0, z_0)$ będzie dowolnym punktem na płaszczyźnie $\pi$ . Wtedy $Ax + By + Cz = D = Ax_0 + By_0 + Cz_0$ , czyli

A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \Leftrightarrow \vec n \circ \vec v = 0,

gdzie $\vec n = (A, B, C)$ , zaś $\vec v = (x - x_0, y - y_0, z - z_0)$ jest wektorem łączącym punkt $(x_0, y_0, z_0)$ z dowolnym punktem $(x, y, z)$ na płaszczyźnie $\pi$ . Zatem $\vec n$ jest wektorem prostopadłym do dowolnego wektora leżącego na płaszczyźnie! Wektor ten nazywamy wektorem normalnym płaszczyzny $\pi$ . Dowolny inny wektor prostopadły do płaszczyzny $\pi$ jest wielokrotnością wektora $\vec n$ .

# Ilustracja wektora normalnego.
var('x', 'y', 'z')
a = plot3d(4-(x+y), (x, -2, 2), (y, -2, 2), opacity = 0.80)
a += arrow3d((0, 0, 0), (1, 1, 1), color = "black", width = 4)
a.show()
# Wersja statyczna. 
a = a.rotate((0, 1, 0),pi/2)
a.show(viewer = 'tachyon')

Loading...

Opowiemy teraz o równaniu parametrycznym płaszczyzny. Tym razem będziemy potrzebowali dwóch parametrów do opisu płaszczyzny, jako że jest ona dwuwymiarowa. O parametrach można myśleć jako o ,,współrzędnych’’ na płaszczyźnie. Niech $\vec v$ będzie wektorem z punktu $(0, 0, 0)$ do dowolnego punktu na płaszczyźnie $\pi$ . Wybierzmy również dwa wektory $\vec w_1, \vec w_2$ leżące na płaszczyźnie $\pi$ , z których żaden nie jest wielokrotnością drugiego. Wtedy dowolny punkt na płaszczyźnie $\pi$ można uzyskać jako $\vec v + t_1 \cdot \vec w_1 + t_2 \cdot \vec w_2$ dla pewnych liczb $t_1, t_2 \in \mathbb R$ . Przykład można zobaczyć na poniższym aplecie - gdy zmieniamy parametry $t_1$ , $t_2$ , punkt $P$ (koniec czarnego wektora) może być dowolnym punktem na płaszczyźnie.

# Równanie parametryczne - aplet ilustrujący
def parametrycznie(t1, t2):
    var('x', 'y', 'z')
    a = plot3d(4-(x+y), (x, -5, 5), (y, -5, 5), opacity = 0.80)
    a += arrow3d((0, 0, 0), (1, 2, 1), color = "orange", width = 4)
    a += text3d("v", (1-1, 2-0.5, 1-0.5), color = "orange", fontsize = 20)
    a += arrow3d((1, 2, 1), (1+t1, 2+t1, 1-2*t1), color = "red", width = 4)
    a += text3d("t1*v1", (1+t1, 2+t1, 1-2*t1), color = "red", fontsize = 20)
    a += arrow3d((1, 2, 1), (1-2*t2, 2+t2, 1+t2), color = "yellow", width = 4)
    a += text3d("t2*v2", (1-2*t2, 2+t2, 1+t2), color = "yellow", fontsize = 20)    
    a += arrow3d((1, 2, 1), (1+t1-2*t2, 2+t1+t2, 1-2*t1+t2), color = "black", width = 4)
    a += text3d("P", (1+t1-2*t2 + 0.5, 2+t1+t2 + 0.5, 1-2*t1+t2 + 0.2), color = "black", fontsize = 20) 
    return a
    
@interact
def _(t1 = slider(-4, 4, 1, default = -1), t2 = slider(-4, 4, 1, default = 1)):
    parametrycznie(t1, t2).show(box = False)

# Wersja statyczna powyższego apletu.
t1 = 1
for t2 in [1, 2, 3]:
    print("t1 = %s, t2 = %s"%(t1, t2))
    parametrycznie(t1, t2).show(box = False, viewer = 'tachyon')

t1 = 1, t2 = 1

t1 = 1, t2 = 2

t1 = 1, t2 = 3

Przykład - różne równania płaszczyzny¶

Znajdź równanie parametryczne i ogólne płaszczyzny $\pi$ przechodzącej przez punkty $A = (1, 2, 1)$ , $B = (-1, 3, 2)$ oraz $C = (2, 3, -1)$ . Czy punkt $P = (-4, 3, 5)$ należy do $\pi$ ? Jeżeli tak, znajdź odpowiadające mu wartości parametrów $t_1$ oraz $t_2$ .

Rozwiązanie: Niech $\vec v = \vec{OA} = (1, 2, 1)$ , $\vec w_1 = \vec{AB} = (-2, 1, 1)$ , $\vec w_2 = \vec{AC} = (1, 1, -2)$ . Wtedy równanie parametryczne tej płaszczyzny to $\vec v + t_1 \cdot \vec w_1 + t_2 \cdot \vec w_2$ , czyli

\begin{cases} x &= 1 -2 t_1 + t_2\\ y &= 2 + t_1 + t_2\\ z &= 1 + t_1 - 2 t_2 \end{cases}

Aby sprawdzić, czy $P \in \pi$ , rozwiązujemy układ równań:

# Rozwiązanie układu równań.
var('t1, t2')
solve([[-4 == 1 -2 * t1 + t2], [3 == 2 + t1 + t2], [5 == 1 + t1 - 2 * t2]], [t1, t2])

[[t1 == 2, t2 == -1]]

Aby znaleźć równanie ogólne, możemy np. rozwiązać następujący układ:

#Rozwiązanie układu równań
var('a, b, c, d')
A = (1, 2, 1)
B = (-1, 3, 2)
C = (2, 3, -1)
punkty = [A, B, C]
solve([[a*P[0] + b*P[1] + c*P[2] == d] for P in punkty], [a, b, c, d])
#Układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań, jego rozwiązania zależą od parametru c1768 (lub inna duża liczba - Sage ma dziwną numerację).
#Wystarczy zatem wstawić za c1768 dowolną niezerową liczbę.

[[a == c2022, b == c2022, c == c2022, d == 4*c2022]]

Przykład - równoległość i prostopadłość płaszczyzn¶

Dla jakich wartości parametru $\alpha$ płaszczyzny $\alpha x + y - \alpha^2 z + 1 = 0$ i $x + \alpha y + z − \alpha = 0$ są równoległe? Dla jakich wartości $\alpha$ są one prostopadłe?

Rozwiązanie: Wektory normalne do danych płaszczyzn są równe odpowiednio: $\vec{n}_1 = (\alpha, 1, - \alpha^2)$ oraz $\vec{n}_2 = (1, \alpha, 1)$ . Płaszczyzny te będą równoległe, jeżeli wektor $\vec n_1$ będzie wielokrotnością wektora $\vec{n}_2$ . Musi zatem zachodzić:

\vec n_1 = \alpha \cdot \vec n_2 \Rightarrow (\alpha, 1, - \alpha^2) = (\alpha, \alpha^2, \alpha).

Z drugiego równania dostajemy $\alpha = \pm 1$ , zaś z trzeciego $- \alpha^2 = \alpha$ , zatem $\alpha = -1$ .

Aby płaszczyzny były prostopadłe, ich wektory normalne muszą być prostopadłe, tzn. $\vec n_1 \circ \vec n_2 = 0$ . To daje nam równość:

2 \alpha = \alpha^2 \Rightarrow \alpha = 0 \vee \alpha = 2.

Sprawdźmy nasze wyniki za pomocą Sage’a.

# Płaszczyzny narysowane dla alpha = -1
H.<x,y,z> = HyperplaneArrangements(QQ)
alpha0 = -1
p0 = alpha0*x + y - alpha0^2*z + 1
q0 = x + alpha0*y + z - alpha0
print(p0.normal(), q0.normal())
obrazek = p0.plot() + q0.plot(color = "red")
obrazek = obrazek.rotate((0,0,1),pi/4)
obrazek.show()
obrazek.show(viewer = 'tachyon')

(-1, 1, -1) (1, -1, 1)

Loading...

# GRAFIKA 3D
# Płaszczyzny narysowane dla alpha = 0
H.<x,y,z> = HyperplaneArrangements(QQ)
alpha0 = 0
p0 = alpha0*x + y - alpha0^2*z + 1
q0 = x + alpha0*y + z - alpha0
obrazek = p0.plot() + q0.plot(color = "red")
obrazek.show()
obrazek.show(viewer = 'tachyon')

Loading...

#Grafika 3D
# Płaszczyzny narysowane dla alpha = 2
H.<x,y,z> = HyperplaneArrangements(QQ)
alpha0 = 2
p0 = alpha0*x + y - alpha0^2*z + 1
q0 = x + alpha0*y + z - alpha0
obrazek = p0.plot() + q0.plot(color = "red")
obrazek = obrazek.rotate((0, 1, 0),3*pi/4)
obrazek.show()
obrazek.show(viewer='tachyon')

Loading...

Proste w przestrzeni¶

Aby opisać prostą w przestrzeni, możemy użyć postaci parametrycznej tak, jak na płaszczyźnie. Prosta to wówczas zbiór punktów postaci:

\{ \vec v + t \cdot \vec w : t \in \mathbb R \}

dla pewnych wektorów $\vec v$ , $\vec w$ . Wektor $\vec w$ nazywamy wektorem kierunkowym prostej. Jeżeli $\vec v = (v_x, v_y, v_z)$ , $\vec w = (w_x, w_y, w_z)$ , to zmienne można opisać równaniami:

x = v_x + t \cdot w_x, \quad y = v_y + t \cdot w_y, \quad z = v_z + t \cdot w_z \quad \textrm{ dla } t \in \mathbb R.

Obliczając $t$ z powyższych równań, dostajemy tzw. postać kierunkową prostej:

\frac{x - v_x}{w_x} = \frac{y - v_y}{w_y} = \frac{z - v_z}{w_z}

Uwaga: zauważmy, że liczby $w_x, w_y, w_z$ mogą być zerowe. Czasem przyjmuje się wtedy konwencję zapisywania ułamka z zerowym mianownikiem w postaci kierunkowej.

Przykład - punkty na prostej w przestrzeni¶

Czy prosta o równaniu $x = 2 - t$ , $y = -3 + 2t$ , $z = 1 + t$ przechodzi przez punkty $A=(1, -1, 4)$ , $B = (0, 1, 3)$ ?

# Definiujemy x, y, z jako wyrażenia zmiennej t
var('t')
x = 2-t
y = -3+2*t
z = 1+t
# Dla danego punktu sprawdzamy, czy znajdziemy odpowiednie t.
pt = (1, -1, 4)
print(solve([[x == pt[0]], [y == pt[1]], [z == pt[2]]], [t]))
# Sprawdzenie dla drugiego punktu.
pt = (0, 1, 3)
print(solve([[x == pt[0]], [y == pt[1]], [z == pt[2]]], [t]))

[

]
[
[t == 2]
]

Postać krawędziowa prostej¶

Innym sposobem opisu prostej jest podanie dwóch płaszczyzn, na przecięciu których leży. Prosta jest wówczas opisana układem równań:

\begin{cases} A_1 x + B_1 y + C_1 z &= D_1\\ A_2 x + B_2 y + C_2 z &= D_2\\ \end{cases}

Jest to tak zwana postać krawędziowa. Zauważmy, że można znaleźć nieskończenie wiele takich par płaszczyzn.

Przykład - postać krawędziowa prostej¶

Znajdź postać krawędziową prostej o równaniu $x = 2 - t$ , $y = -3 + 2t$ , $z = 1 + t$ .

Sposób I: Wybierzmy dowolne dwa punkty na prostej, np. $A = (2, -3, 1)$ (powstałe przez wstawienie $t = 0$ ) oraz $B = (1, -1, 2)$ (powstałe przez wstawienie $t = 1$ ) oraz dwa dowolne punkty poza prostą, np. $C = (0, 0, 0)$ oraz $D = (1, 1, 1)$ . Wtedy prosta jest przecięciem płaszczyzn ABC oraz ABD (o ile tylko te płaszczyzny nie są sobie równe).

#Wybieramy punkt A na prostej odpowiadający np. parametrowi t0 = 0
t0 = 0
A = (2 - t0, -3 + 2*t0, 1+t0)
#Wybieramy punkt B na prostej odpowiadający np. parametrowi t0 = 1
t1 = 1
B = (2 - t1, -3 + 2*t1, 1+t1)

#Wybieramy dowolne dwa punkty poza prostą.
C = (0, 0, 0)
D = (1, 1, 1)

#Znajdziemy teraz płaszczyznę przechodzącą przez punkty A, B, C.
#W tym celu rozwiążemy układ równań.
a, b, c, d = var ('a, b, c, d')
punkty = [A, B, C]
plaszczyzna = solve ([a*pt[0] + b*pt[1] + c*pt[2] == d for pt in punkty], [a, b, c, d])
print(plaszczyzna)
r = plaszczyzna[0][0].rhs().variables()[0]
a0 = plaszczyzna[0][0].rhs().substitute({r:1})
b0 = plaszczyzna[0][1].rhs().substitute({r:1})
c0 = plaszczyzna[0][2].rhs().substitute({r:1})
d0 = plaszczyzna[0][3].rhs().substitute({r:1})
print("Równanie pierwszej płaszczyzny to:", "%s x + %s y + %s z = %s"%(a0, b0, c0, d0))

#Znajdziemy teraz płaszczyznę przechodzącą przez punkty A, B, D.
#W tym celu rozwiążemy układ równań.
a, b, c, d = var ('a, b, c, d')
punkty = [A, B, D]
plaszczyzna2 = solve ([a*pt[0] + b*pt[1] + c*pt[2] == d for pt in punkty], [a, b, c, d])
print(plaszczyzna2)
r = plaszczyzna2[0][0].rhs().variables()[0]
a1 = plaszczyzna2[0][0].rhs().substitute({r:1})
b1 = plaszczyzna2[0][1].rhs().substitute({r:1})
c1 = plaszczyzna2[0][2].rhs().substitute({r:1})
d1 = plaszczyzna2[0][3].rhs().substitute({r:1})
print("Równanie drugiej płaszczyzny to:", "%s x + %s y + %s z = %s"%(a1, b1, c1, d1))

#GRAFIKA 3D
#Rysujemy płaszczyzny:
H.<x,y,z> = HyperplaneArrangements(QQ)
a0, b0, c0, d0 = QQ(a0), QQ(b0), QQ(c0), QQ(d0)
a1, b1, c1, d1 = QQ(a1), QQ(b1), QQ(c1), QQ(d1)
h1 = a0*x+b0*y+c0*z-d0
h2 = a1*x+b1*y+c1*z-d1
rysunek = h1.plot() + h2.plot(color = "red")
rysunek += parametric_plot3d((2 - t, -3 + 2*t, 1+t), (t, -10, 10), color = "yellow")
rysunek.show(aspect_ratio=1)

[
[a == r5, b == 3/5*r5, c == -1/5*r5, d == 0]
]
Równanie pierwszej płaszczyzny to: 1 x + 3/5 y + -1/5 z = 0
[
[a == 4/7*r6, b == 1/7*r6, c == 2/7*r6, d == r6]
]
Równanie drugiej płaszczyzny to: 4/7 x + 1/7 y + 2/7 z = 1

Loading...

# Wersja statyczna
rysunek.show(aspect_ratio=1, viewer = 'tachyon')

Sposób II: dodajemy do siebie wielokrotności zmiennych x, y, z w taki sposób, żeby zlikwidować zmienną $t$ . Przykładowo $2 \cdot x + y = 1$ oraz $y - 2 \cdot z = -5$ . Równania te zadają żądane płaszczyzny. Sprawdźmy, że prosta rzeczywiście leży na obu płaszczyznach.

#Definiujemy x, y, z jako wyrażenia zmiennej t i sprawdzamy, czy odpowiednie rónanie się wyzeruje
var('t')
x = 2 - t
y = -3 + 2*t
z = 1 + t
print(2*x + y - 1)
print(y - 2*z + 5)

0
0

Sposób III: postać kierunkowa tej prostej to: $2 - x = \frac{y+3}{2} = z - 1$ . Zatem przykładowe dwie płaszczyzny to: $2 - x = \frac{y+3}{2}$ (czyli $2 x + y = 1$ ) oraz $2 - x = z - 1$ (tzn. $x + z = 3$ ).

Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni¶

Jeżeli dwie proste nie leżą na jednej płaszczyźnie, mówimy, że są skośne. Proste, które leżą na jednej płaszczyźnie albo przecinają się w dokładnie jednym punkcie, albo są równoległe. Dwie proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory kierunkowe są równoległe.

Dowolne dwie płaszczyzny są albo równoległe, albo przecinają się w pewnej prostej. Płaszczyzny są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory normalne są równoległe.

Przykład - położenie prostych¶

Czy proste $\ell_1$ oraz $\ell_2$ są do siebie równoległe, skośne, czy przecinają się w jednym punkcie? Zakładamy, że są one dane przez:

(a) $\ell_1 :$ $x = 1$ , $y = t$ , $z = 2 - t$ ( $t \in \mathbb R$ ) oraz $\ell_2:$ $x = 1 - s$ , $y = 2 + s$ , $z = 1 + 2 s$ ( $s \in \mathbb R$ )

(b) $\ell_1 :$ $x = t-2$ , $y = t + 2$ , $z = 2 t + 2$ ( $t \in \mathbb R$ ) oraz $\ell_2:$ $x = s + 1$ , $y = 2s + 7$ , $z = -2 s$ ( $s \in \mathbb R$ )

(c) $\ell_1 :$ $x = 1$ , $y = t$ , $z = 2 - t$ ( $t \in \mathbb R$ ) oraz $\ell_2:$ $x = 3$ , $y = 4 -2s$ , $z = -1 + 2s$ ( $s \in \mathbb R$ )

# Aby znaleźć punkty wspólne, należy rozwiązać układ równań.
#(a)
var('s, t')
print(solve([[1 == 1 - s], [t == 2+s], [2 - t == 1 + 2*s]], [s, t]))
#(b)
var('s, t')
print(solve([[t-2 == s+1], [t+2 == 2*s+7], [2*t + 2 == -2*s]], [s, t]))
#(c)
var('s, t')
print(solve([[1 == 3], [t == 4 - 2*s], [2 - t == -1 + 2*s]], [s, t]))

[

]
[
[s == -2, t == 1]
]
[

]

Z powyższych obliczeń wynika, że tylko w podpunkcie (b) proste przecinają się w jednym punkcie. Aby sprawdzić, czy proste z podpunktów (a) oraz (c) są równoległe, czy też skośne, musimy sprawdzić, czy ich wektory kierunkowe są równoległe.

(a) Prosta $\ell_1$ zadana jest jako: $(x, y, z) = (1, 0, 2) + t \cdot (0, 1, -1)$ , zatem wektor kierunkowy to $(0, 1, -1)$ . Podobnie, wektor kierunkowy prostej $\ell_2$ to $(-1, 1, 2)$ . Wektory te nie są równoległe, zatem proste te są skośne.

(c) Wektory kierunkowe tych prostych to $(0, 1, -1)$ oraz $(0, -2, 2) = -2 \cdot (0, 1, -1)$ . Są one równoległe, zatem proste te również są równoległe.

Przykład - wzajemne położenie prostej i płaszczyzny¶

Czy prosta o równaniu $x = 2 - t$ , $y = -3 + 2t$ , $z = 1 + t$ leży na płaszczyźnie:

(a) $x - 2y + 3z = 9$ ,

(b) $3x + 2y - z = -1$ ?

#Sprawdzamy, czy x, y, z zadane jako wyrażenia zmiennej t spełniają dane równanie płaszczyzny
var('t')
x = 2-t
y = -3+2*t
z = 1+t
print("(a):", (x - 2*y + 3*z - 9).is_trivial_zero())
print("(b):", (3*x + 2*y -z + 1).is_trivial_zero())

(a): False
(b): True

Przykład - płaszczyzna przecinająca inną pod kątem prostym¶

Wyznaczyć równanie ogólne i parametryczne płaszczyzny, która przecina płaszczyznę

\pi : 2x + 3y - z + 3 = 0

pod kątem prostym, a częścią wspólną tych płaszczyzn jest prosta $x = 1 - t$ , $y = t - 1$ , $z = t + 2$ .

Rozwiązanie: niech płaszczyzna ta będzie dana równaniem $ax+by+cz = d$ . Wektor normalny płaszczyzny $\pi_2$ musi być prostopadły do $\vec n = (2, 3, -1)$ , zatem

2a + 3b - c = 0.

Ponadto, aby prosta leżała na płaszczyźnie:

a(1-t) + b(t - 1) + c(t+2) = d,

czyli (porównując wyrazy wolne oraz współczynnik przy $t$ ) $a - b + 2c = d$ oraz $-a + b + c = 0$ . Rozwiążmy ten układ równań:

# Rozwiązujemy układ równań
var('a, b, c, d')
abcd = solve([[2*a + 3*b - c == 0], [a - b + 2*c == d], [-a+b +c == 0]], [a, b, c, d])
#abcd to lista rozwiązań. Jest ich nieskończenie wiele, zależą od parametru
r = abcd[0][0].rhs().variables()[0]
a1 = abcd[0][0].rhs().substitute({r:1})
b1 = abcd[0][1].rhs().substitute({r:1})
c1 = abcd[0][2].rhs().substitute({r:1})
d1 = abcd[0][3].rhs().substitute({r:1})
print("Równanie płaszczyzny to: %s x + %s y + %s z = %d"%(a1, b1, c1, d1))
####
# GRAFIKA 3D
# Rysujemy płaszczyzny
H.<x,y,z> = HyperplaneArrangements(QQ)
h0 = 2*x + 3*y - z + 3
h = QQ(a1)*x + QQ(b1)*y+QQ(c1)*z - QQ(d1)
rysunek = h0.plot(color = "red") + h.plot()
var('t')
rysunek += parametric_plot3d([1-t, t-1, t+2], [t, -10, 10], color = "yellow", boundary_style={"thickness": 5})
rysunek.show()
rysunek.show(viewer = 'tachyon')

Równanie płaszczyzny to: 1 x + -1/4 y + 5/4 z = 3

Loading...

Zadania dodatkowe¶

Zadanie nr 1¶

Znajdź równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkty $(1, 2, 3)$ oraz $(-1, 0, 3)$ .

Zadanie nr 2¶

Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt $P = (6, 2, -1)$ i prostopadłej do prostej

\begin{cases} 4x - 3y + 2z + 5 = 0,\\ -5x + 8y - 7z + 2 = 0. \end{cases}

Zadanie nr 3¶

Dane są dwie proste: $l_1 : \frac{x-9}8 = \frac{y-5}3 = z - 2$ i $l_2 : \frac{3x+9}{4} = y + 1 = \frac{24-3z}{7}$ . Czy proste te leżą na jednej płaszczyźnie? Jeżeli tak, to wyznacz równanie ogólne tej płaszczyzny.

Zadanie nr 4¶

Czy proste $l_1 : \frac{x-9}8 = \frac{y-5}3 = z - 2$ oraz $l_2 : (x(t), y(t), z(t)) = (17 + 8 t, 8 + 3 t, 3 + t)$ są sobie równe?

Wskazówka: ile punktów wyznacza jednoznacznie prostą?