18. Funkcje wypukłe i wklęsłe.

Treści kształcenia. Pojęcie funkcji (intuicyjne, nie jako relacji), argumenty, wartości, dziedzina, przeciwdziedzina, zbiór wartości. Funkcje monotoniczne, wypukłe, parzyste, nieparzyste, okresowe. Iniekcje, suriekcje i bijekcje. Przegląd podstawowych funkcji elementarnych (afiniczna, kwadratowa, wykładnicza, logarytmiczna (teoria obliczeń), trygonometryczne), ich wykresy i własności.

Efekty kształcenia. Student potrafi i określać własności podstawowych funkcji, które napotyka w informatyce.

W ostatniej części poświęconej funkcjom zdefiniujemy jeszcze jeden użyteczny typ własności.

Być może pamiętamy ze szkoły pojęcia wypukły i wklęsły. Pojawiały się one przy okazji kątów oraz wielokątów. Kątem wypukłym nazywano taki kąt na płaszczyźnie, którego miara nie przekraczała $180^\circ$. W przeciwnym razie mówiono o kącie wklęsłym. Z kolei czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne miały miarę mniejszą niż $180^\circ$, nazywano czworokątem wypukłym. Jeśli zaś posiadał on jeden kąt wklęsły, wówczas nazywano go czworokątem wklęsłym. Ponadto w czworokącie wypukłym wybierając dowolną parę punktów leżących wewnątrz czworokąta, odcinek łączący te punkty zawarty był w czworokącie.

Równanie parametryczne prostej i odcinka¶

Aby lepiej zrozumieć definicję funkcji wypukłych i wklęsłych, wprowadzimy równanie parametryczne prostej i odcinka na płaszczyźnie. Przypuśćmy, że dane są na płaszczyźnie punkty $A(x_A, y_A)$ i $B(x_B, y_B)$. Wówczas każdy punkt o współrzędnych

$t \in \mathbb{R}$ należy do prostej $AB$. Odwrotnie, dla każdego punktu prostej $AB$ istnieje taka liczba $t \in \mathbb{R}$, że powyższa para liczb $x,y$ wyznacza współrzędne tego punktu w układzie kartezjańskim. Parametr $t \in \mathbb{R}$ interpretować możemy jako czas (tu czas może przyjmować wartości ujemne), zaś $x$ i $y$ jako współrzędne położenia punktu materialnego, poruszającego się po odpowiedniej linii (w tym przypadku prostej) w czasie. Tego typu równanie, w którym współrzędne punktu wyrażone są jako (ciągłe) funkcje parametru $t$, nazywamy równaniami parametrycznymi linii. Zatem równanie (1) przedstawia parametryczne równanie prostej.
Zauważmy, że dla $t=0$ mamy $(x,y)=(x_A, y_A)$, zaś gdy $t=1$, to $(x,y)=(x_B, y_B)$. Ponadto, dla $t \in (0,1)$ punkt $(x,y)$ wyznaczony równaniami (1) znajduje się wewnątrz odcinka, zaś dla $t \in \mathbb{R}\setminus [0,1]$ punkt znajduje się poza odcinkiem $AB$. Liczby $\alpha = x_B - x_A$ oraz $\beta = y_B-y_A$ stojące przy parametrze $t$ są współrzędnymi wektora $\overrightarrow{AB}$. Zatem $\overrightarrow{AB}[\alpha, \beta]$ ustala kierunek poruszania się “od punktu $A$ do punktu $B$”, przy czym prędkość wynosi $|AB|$, bo drogę między punktami pokonujemy w czasie $t=1$.

Wykonując drobne przekształcenia w równaniu (1), dostajemy

Równanie to (oraz równanie (1)) dla $t \in [0,1]$ nazywamy parametrycznym równaniem odcinka $AB$ o końcach $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$.

Przykład 1.¶

Odcinek o końcach $A(1, 10)$ i $B(7,6)$ ma równanie parametryczne postaci

Środkiem tego odcinka jest punkt $S(4,8)$, którego współrzędne uzyskamy, wstawiając w powyższym równaniu wartość $t=\tfrac{1}{2}$. Jeśli wstawimy wartość $t= \tfrac{1}{4}$, otrzymamy współrzędne takiego punktu $P$, że $|AP|= \tfrac{1}{4}|AB|$. Dzieli on odcinek w stosunku $\lambda = \tfrac{1}{3}$. Ogólnie, współrzędne punktu $P(x,y)$ dzielącego odcinek $AB$ w stosunku $-1\neq \lambda = \tfrac{|AP|}{|PB|}$ określają wzory

które uzyskamy, wstawiając $t= \frac{\lambda}{\lambda +1}$ w równaniu (2).

Przykład 2.¶

Aby zapisać równanie prostej $y = 4x+1$ w postaci parametrycznej, możemy wyznaczyć współrzędne dwóch dowolnych punktów tej prostej i podstawić ich współrzędne do równania parametrycznego. Możemy też zauważyć, że “kierunek ruchu punktu” jest zgodny z kierunkiem wektora o współrzędnych $[1,4]$, który wiąże jednostkowy wzrost argumentu funkcji liniowej z odpowiadającym mu wzrostem wartości o 4. Pozostaje uwzględnić “punkt startowy”, czyli dowolny punkt prostej. Reasumując, otrzymujemy równanie następującej postaci:

Z powyższego przykładu wynika jeszcze jeden prosty fakt. Dociekliwy czytelnik z pewnością dostrzegł, że dla funkcji $y=f(x)$ naturalną parametryzacją linii wyznaczającej jej wykres jest:

Przykład 3.¶

Jak pamiętamy, nie wszystkie linie na płaszczyźnie można opisać równaniem $y=f(x)$. Jedną z takich linii jest okrąg, który, jak pamiętamy ze szkoły, ma równanie

gdzie $O(x_0, y_0)$ jest środkiem okręgu, zaś $r>0$ jest jego promieniem. Dla uproszczenia przyjmijmy $O(0,0)$ i $r=1$. Z definicji funkcji sinus i cosinus wiemy, że dla dowolnego kąta o mierze łukowej $\varphi$ funkcje sinus i cosinus wyrażają odpowiednio ilorazy $\tfrac{y}{r}$ i $\tfrac{x}{r}$, gdzie $x$ i $y$ są współrzędnymi punktu z okręgu. Uwzględniając $r=1$, otrzymujemy równanie parametryczne okręgu jednostkowego o środku w $O(0,0)$:

Jakie równanie parametryczne będzie miał dowolny okrąg?

Funkcje wypukłe i wklęsłe¶

Jeśli $t \in [0,1]$, to liczby $x$ i $y$ ze wzoru (2) nazywamy kombinacjami wypukłymi odpowiednio $x_A$ i $x_B$ oraz $y_A$ i $y_B$. Możemy to zapisać jeszcze inaczej: Kombinacją wypukłą liczb $x$ i $y$ nazywamy liczbę $w$ postaci:

gdzie $\alpha$ i $\beta$ są dowolnymi nieujemnymi liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunek $\alpha + \beta =1$.

Def. Niech $I$ będzie przedziałem lub $I =\mathbb{R}$. Funkcję $f \colon I \to \mathbb{R}$ nazywamy wypukłą w $I$, gdy dla dowolnej kombinacji wypukłej $w$ liczb $x_1, x_2 \in I$ spełniony jest warunek

Funkcję $f \colon I \to \mathbb{R}$ nazywamy wklęsłą w $I$, gdy dla dowolnej kombinacji wypukłej $w$ liczb $x_1, x_2 \in I$ spełniony jest warunek

Funkcje wypukłe i wklęsłe - interpretacja geometryczna¶

Jeśli przyjmiemy $y_A = f(x_A)$, $y_B = f(x_B)$ oraz $\alpha = 1-t$, $\beta= t$, to ze wzorów (2) i (4) łatwo dedukujemy, że wykres funkcji wypukłej nie przecina i leży poniżej odcinka łączącego dowolne dwa punkty $A(x_A, y_A)$ i $B(x_B, y_B)$ należące do wykresu funkcji $f$. Uściślijmy, że przez przecięcie rozumiemy tu sytuację, w której po obu stronach odcinka znajdują się punkty należące do wykresu $f$.
Analogicznie porównując wzory (2) i (5), wnioskujemy, że wykres funkcji wklęsłej nie przecina i znajduje się powyżej odcinka łączącego dowolne dwa punkty $A(x_A, y_A)$ i $B(x_B, y_B)$ należące do wykresu funkcji $f$.

Wybór nazewnictwa dla zdefiniowanych funkcji wypukłych i wklęsłych staje się jasny, gdy wprowadzimy pojęcie nadwykresu funkcji.

Def. Nadwykresem funkcji $f \colon (a,b) \to \mathbb{R}$ nazywamy zbiór

Teraz definicję funkcji wypukłych i wklęsłych możemy wyrazić następująco: funkcja $f \colon (a,b) \to \mathbb{R}$ jest więc wypukła, gdy jej nadwykres jest zbiorem wypukłym. Z kolei $f$ jest wklęsła, gdy jej podwykres $\{(x, y) \colon \, a<x<b,\, y < f(x)\}$ jest zbiorem wypukłym.
Podobnie jak w przypadku funkcji monotonicznych w klasie funkcji wypukłych wyodrębnia się pewne (analogiczne) podklasy. Gdy we wzorach (4) i (5) dla $x_1 \neq x_2$ oraz $\alpha, \beta > 0$ zmienimy nierówności nieostre na ostre, będziemy mówili o funkcjach ściśle wypukłych i ściśle wklęsłych.
W literaturze funkcjonują również nazwy funkcja wypukła w górę i funkcja wypukła w dół, oznaczające odpowiednio funkcję wklęsłą i wypukłą.

Przykłady funkcji wypukłych i wklęsłych¶

Udowodnienie z definicji, że dana funkcja jest wklęsła bądź wypukła dla wielu funkcji elementarnych byłoby trudne. Efektywne narzędzia do badania wypukłości/wklęsłości funkcji daje analiza matematyczna. Znajomości wykresów funkcji elementarnych dają nam pewną intuicję, do której z klas należą dane typy funkcji.

1. Funkcja liniowa jest jednocześnie funkcją wypukłą i wklęsłą. Nie jest ona ściśle wypukła.

2. Funkcja kwadratowa $f(x)=ax^2+bx+c$ - znajomość wykresu funkcji kwadratowej pozwala nam mieć intuicję, że dla $a>0$ jest wypukła, zaś dla $a<0$ jest wklęsła. Sprawdzenie tego (z definicji) jest dosyć wymagające rachunkowo. Nie da się jednoznacznie odpowiedzieć, jakiego typu funkcją (wklęsłą czy wypukłą) jest dowolny wielomian stopnia wyższego niż dwa.

3. Funkcja potęgowa czyli funkcja postaci

jest wypukła, gdy $\alpha \geq 1$ lub $\alpha \leq 0$, oraz wklęsła dla $0 \leq \alpha \leq 1$. Zauważmy, że dla pewnych $\alpha$ funkcje potęgowe mogą być zdefiniowane na całym zbiorze liczb rzeczywistych (np. $\alpha \in \{1/3, 1/5, 1/7,\dots\}$). Wówczas zmienia się typ wypukłości na $(-\infty, 0)$.

4. Funkcja wykładnicza $f(x)= a^x$ jest funkcją wypukłą dla dowolnego $a>0$ i $a \neq 1$ w $\mathbb{R}$.

5. Funkcja logarytmiczna jest funkcją wklęsłą w $(0, +\infty)$, gdy $a>1$, zaś dla $a \in (0,1)$ jest wypukła w tym przedziale.

6. Funkcje trygonometryczne - funkcja sinus jest wypukła w każdym przedziale postaci $(-\pi +2k\pi, 2k\pi)$, $k \in \mathbb{Z}$, zaś w każdym przedziale postaci $(2k\pi,\pi + 2k\pi)$, $k \in \mathbb{Z}$ funkcja sinus jest wklęsła. Funkcja tangens jest wklęsła w każdym przedziale postaci $(-\tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\pi)$, $k \in \mathbb{Z}$, zaś wypukła w każdym przedziale postaci $(k\pi, \tfrac{\pi}{2}+k\pi)$, $k \in \mathbb{Z}$. Podobne opisy otrzymujemy dla funkcji cosinus i cotangens z odpowiednich wzorów redukcyjnych.

Przykład 4.¶

Zastanówmy się, czy i jak własność wypukłości/wklęsłości “przenosi się” na funkcje powstałe przez operacje na innych funkcjach wklęsłych/wypukłych.

1. Przypuśćmy, że $f,g \colon (a,b)\to \mathbb{R}$ są funkcjami wypukłymi. Wówczas funkcja $h = f + g$ jest funkcją wypukłą. Istotnie dla $x_1, x_2 \in (a,b)$ oraz nieujemnych $\alpha$ i $\beta$ takich, że $\alpha + \beta =1$ mamy

2. Przypuśćmy, że funkcja $f \colon (a,b)\to (c,d)$ jest rosnącą i wypukłą bijekcją. Pokażemy, że funkcja odwrotna do $f$ jest wklęsła. Niech $y_1, y_2 \in (c,d)$ i niech $\alpha + \beta =1$ dla nieujemnych liczb $\alpha$ i $\beta$. Istnieją $x_1, x_2 \in (a,b)$ takie, że $f(x_1)=y_1$ i $f(x_2)=y_2$. Wówczas

zatem funkcja odwrotna do $f$ jest wklęsła.

3. W podobny sposób można pokazać, że złożenie dwóch funkcji wypukłych, przy czym funkcja zewnętrzna jest rosnąca, jest funkcją wypukłą (ćwiczenie).

4. A jak zmienia się wypukłość danej funkcji, gdy przemnożymy ją przez stałą? - rozważyć różne przypadki.

Zastosowanie funkcji wypukłych i wklęsłych.¶

Wprost z definicji funkcji wypukłej i wklęsłej wynika, że możemy kontrolować (z góry dla wypukłej, z dołu dla wklęsłej) wartość funkcji w przedziale, gdy znamy wartości na końcach tego przedziału. Badanie zmienności funkcji obejmuje także badanie wypukłości i wklęsłości oraz tzw. punktów przegięcia. Cechy te pomagają lepiej rozumieć geometryczne własności wykresu funkcji.

Jedną z fundamentalnych własności zachodzących dla funkcji wypukłych jest nierówność Jensena.

Twierdzenie (Nierówność Jensena). Niech $\varphi \colon (a,b) \to \mathbb{R}$ będzie funkcją wypukłą. Wówczas dla dowolnych liczb nieujemnych $\alpha_1,\dots, \alpha_n$ i takich, że $\sum_{i=1}^n\alpha_i=1$ oraz dla dowolnych $x_1, x_2,\dots,x_n \in (a,b)$ zachodzi nierówność

Ponieważ założenie $\sum_{i=1}^n\alpha_i=1$ może się wydawać z pozoru “dosyć szczególną okolicznością”, możemy wykonać podstawienie

Wniosek. Niech $\varphi \colon (a,b) \to \mathbb{R}$ będzie funkcją wypukłą. Wówczas dla dowolnych liczb nieujemnych $p_1,\dots, p_n$, nie wszystkich równych zeru, oraz dla dowolnych $x_1, x_2,\dots,x_n \in (a,b)$ zachodzi nierówność:

gdzie $p = \sum_{i=1}^n p_i$.

Przykład 5.¶

Zastosujmy nierówność z powyższego wniosku do funkcji $f(x)= \text{e}^x= \exp(x)$ i przyjmując $p_i=1$ oraz $x_i = \ln y_i$ dla $i \in \{1,\dots,n\}$ dla dodatnich liczb $y_1,\dots,y_n$. Wówczas

Z elementarnych własności funkcji wykładniczej i logarytmicznej dostajemy nierówność

zwaną nierównością między średnią arytmetyczną i geometryczną.

Jeśli w ostatniej nierówności dokonamy podstawienia $z_i= \frac{1}{y_i}$, to dostaniemy nierówność

równoważnie

zwaną nierównością między średnią harmoniczną a geometryczną.

Przykład 6.¶

Jak już zaznaczyliśmy, z definicji funkcji wklęsłych i wypukłych wynika, że możemy “kontrolować” ich wartości wewnątrz przedziału, znając ich wartości na końcach przedziału. Zilustrujmy to przykładem funkcji $f(x) = \sqrt x$, o której wiemy, że jest wklęsła w $(0, \infty)$. Spróbujmy oszacować wartość $\sqrt{450}$. Wiemy, że $\sqrt{441}=21$ oraz $\sqrt{484}=22$. Aby przedstawić 450 jako kombinację wypukłą liczb 441 i 484, rozwiązujemy równanie:

z którego mamy $t=\tfrac{9}{43}$. Ostatecznie

Jak się okazuje, daje nam to całkiem dobre przybliżenie (patrz poniżej).

W ramach ćwiczenia można w podobny sposób oszacować $\sqrt{1000}$.