22. Liczby zespolone - Wstęp do matematyki 06-DPMALI0

Treści kształcenia. Liczby zespolone: definicja, dodawanie i mnożenie, struktura ciała liczb zespolonych, część rzeczywista i urojona, sprzężenie. Norma i argument, postać trygonometryczna i formuła de Moivre’a, pierwiastki z jedności, rozwiązywanie równań wielomianowych w liczbach zespolonych oraz zastosowania (rekurencje liniowe, geometria płaszczyzny).

Efekty kształcenia. Potrafi wykonywać działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej i trygonometrycznej, wyznaczać ich normę i argument oraz stosować formułę de Moivre’a. Potrafi rozwiązywać proste równania wielomianowe w liczbach zespolonych i opisywać za ich pomocą obiekty geometryczne na płaszczyźnie.

Wstęp¶

Wiele problemów matematycznych można rozwiązać, o ile wprowadzi się do problemu dodatkowe obiekty. Rozszerzenie początkowe obiektu badań pozornie nie prowadzi do głębszych wniosków. Zobaczymy poniżej na kilku przykładach, jak koncepcja liczb może być rozszerzona poza liczby rzeczywiste i wykorzystana do rozwiązywania problemów związanych z liczbami rzeczywistymi.

Powtarzające się ciągi¶

Rozważmy ciąg liczb całkowitych $a_{n}$ zadany przez powtarzający się wzorzec:

1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1,\ldots

Bardziej formalnie możemy napisać $a_{n+2} =-a_{n}$ i $a_{0} = 1$ , $a_{1}=0$ . Czy dla podanego ciągu istnieje formuła podobna do wzoru Bineta dla liczb Fibonacciego?

Zauważmy, że zgodnie z metodami rozwiązywania rekurencji liniowych, otrzymalibyśmy

a_{n} = c_1 \alpha^n+c_2 \beta^n

gdzie $\alpha,\beta$ są pierwiastkami wielomianu $T^2+1=0$ . Nie istnieje żadna liczba rzeczywista, która spełnia takie równanie. Ale, gdyby taka liczba istniała, wówczas byłaby ,,pierwiastkiem z liczby -1’'. Oznaczając taką liczbę $i=\sqrt{-1}$ , pierwiastkami wielomianu $T^2+1$ są $i$ oraz $-i$ . Nasze liczby spełniałyby relację $(\pm i)^2 = -1$ .

I^2

-1

c1,c2=var('c1,c2')
def a(n):
    return c1*(I)^n+c2*(-I)^n

solve([a(0)-1,a(1)-0],(c1,c2))

[[c1 == (1/2), c2 == (1/2)]]

Otrzymujemy formułę ogólną na nasz ciąg

a_n = \frac{1}{2}(i^n+(-i)^n).

Korzystając z relacji $i^2=-1$ , istotnie odzyskujemy formułę na wyrazy naszego ciągu.

def aa(n):
    return 1/2*(I^n+(-I)^n)

[aa(k) for k in range(6)]

[1, 0, -1, 0, 1, 0]

Liczby zespolone¶

Jak wskazuje powyższy przykład do pewnych obliczeń na liczbach rzeczywistych, wygodnym pomysłem jest formalne wprowadzenie do rachunku pewnych ,,liczb’', które rozszerzają zwykły zakres liczb rzeczywistych.

Definicja

Zbiór symboli $\{a+bi:a, b \in \mathbb{R}\}$ , gdzie $a,b$ są liczbami rzeczywistymi, a $i$ jest ustalonym symbolem, nazywamy zbiorem liczb zespolonych i oznaczamy $\mathbb{C}$ . Na zbiorze $\mathbb{C}$ wprowadzamy dwa działania
$+:\mathbb{C}\times\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ (dodawanie liczb zespolonych)
$\cdot:\mathbb{C}\times\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ (mnożenie liczb zespolonych)

Dodawanie liczb zespolonych jest zdefiniowane wzorem

(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i,

gdzie dodawanie $a+c$ oraz $b+d$ są rozumianymi w zwykłym sensie operacjami dodawania liczb rzeczywistych $a,b,c,d$ .

Mnożenie liczb zespolonych jest zdefiniowane wzorem

(a+bi)\cdot(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i,

gdzie operacje $\cdot, +,-$ w wyrażeniach $(ac-bd)$ oraz $ad+bc$ są rozumiane w zwykłym sensie dla liczb rzeczywistych $a,b,c,d$ .

Dla liczby zespolonej $a+bi$ liczba $a$ nazywana jest częścią rzeczywistą, a liczba $b$ nazywana jest częścią urojoną

Re(a+bi) = a,

Im(a+bi) = b.

Struktura dodawania liczb zespolonych¶

Operacja dodawania liczb zespolonych może być intuicyjnie rozumiana jako odpowiadająca dodawaniu dwóch wektorów $[a,b]$ , $[c,d]$ w zwykłym sensie, tj. ,,po współrzędnych’'. Wraz z operacją dodawania liczby zespolone tworzą grupę (przemienną), tj.

Istnieje element neutralny operacji dodawania $0+0i$ (zazwyczaj pisany po prostu jako 0), który spełnia

(a+bi)+(0+0i) = a+bi = (0+0i)+(a+bi)

dla dowolnej liczby zespolonej $a+bi$ .

Działanie $+$ na liczbach zespolonych jest łączne, tj.

((a+bi)+(c+di))+(e+fi) = (a+bi)+((c+di)+(e+fi))

dla dowolnych trzech liczb zespolonych $a+bi,c+di,e+fi$ .

Element przeciwny. Dla dowolnej liczby zespolonej $a+bi$ elementem przeciwnym jest $(-a)+(-b)i$ , gdzie $-a,-b$ są elementami przeciwnymi do liczb rzeczywistych $a,b$ . Zachodzi relacja

(a+bi)+((-a)+(-b)i) = 0+0i = ((-a)+(-b)i)+(a+bi).

Działanie $+$ na liczbach zespolonych jest przemienne, tj.

(a+bi)+(c+di) = (c+di)+(a+bi)

dla dowolnych dwóch liczb zespolonych $a+bi,c+di$ .

Zadanie 1 (własności dodawania liczb zespolonych)¶

Sprawdź, korzystając z definicji operacji $+$ , że wypisane własności 1-4 zachodzą dla liczb zespolonych.

#Rozwiązanie komputerowe
a,b,c,d,e,f=var('a,b,c,d,e,f')

#element neutralny
print((0+0*I)+(a+b*I))
print((a+b*I)+(0+0*I))


#łączność
print((((a+b*I)+(c+d*I))+(e+f*I)).collect(I))
print((a+b*I)+((c+d*I)+(e+f*I)))

a + I*b
a + I*b
a + I*b + c + I*d + e + I*f
a + I*b + c + I*d + e + I*f

assume(a,'real')
assume(b,'real')
assume(c,'real')
assume(d,'real')
assume(e,'real')
assume(f,'real')
aa=(((a+b*I)+(c+d*I))+(e+f*I))
aa.real_part()

a + c + e

Struktura mnożenia liczb zespolonych¶

Oznaczmy $\mathbb{C}^{\times}$ zbiór $\mathbb{C}\setminus\{0+0i\}$ . Na zbiorze $\mathbb{C}^{\times}$ operacja $\cdot$ określona powyżej zadaje strukturę grupy (przemiennej).

Elementem neutralnym operacji $\cdot$ na liczbach zespolonych jest $1+0i$ (zapisywane zazwyczaj jako 1), tj.

(a+bi)\cdot (1+0i) = a+bi = (1+0i)\cdot(a+bi)

dla dowolnej liczby zespolonej $a+bi$ .

Działanie $\cdot$ na zbiorze $\mathbb{C}^{\times}$ jest łączne, tj.

((a+bi)\cdot(c+di))\cdot(e+fi) = (a+bi)\cdot((c+di)\cdot(e+fi))

dla dowolnych trzech liczb zespolonych $a+bi,c+di,e+fi$ .

Element odwrotny. Dla dowolnej liczby zespolonej $a+bi$ różnej od $0+0i$ elementem odwrotnym jest $(\frac{a}{a^2+b^2})+(\frac{-b}{a^2+b^2})i$ . Zachodzi relacja

(a+bi)\cdot ((\frac{a}{a^2+b^2})+(\frac{-b}{a^2+b^2})i) = 1+0i = ((\frac{a}{a^2+b^2})+(\frac{-b}{a^2+b^2})i)\cdot (a+bi).

Działanie $\cdot$ na liczbach zespolonych jest przemienne, tj.

(a+bi)\cdot(c+di) = (c+di)\cdot(a+bi)

dla dowolnych dwóch liczb zespolonych $a+bi,c+di$ .

Zadanie 2 (własności mnożenia liczb zespolonych)¶

Sprawdź, korzystając z definicji operacji $\cdot$ , że wypisane własności 1-4 zachodzą dla liczb zespolonych.

Struktura ciała liczb zespolonych¶

Operacje dodawania $+$ i mnożenia $\cdot$ na liczbach zespolonych są zgodne, tj. spełniają następującą relację zwaną rozdzielnością mnożenia względem dodawania

(a+bi)\cdot ((c+di)+(e+fi)) = ((a+bi)\cdot (c+di)) + ((a+bi)\cdot (e+fi))

dla dowolnych liczb zespolonych $a+bi,c+di,e+fi$ . UWAGA! Operację $\cdot$ rozszerzamy do zbioru $\mathbb{C}$ tak, aby spełniony był aksjomat powyżej. W szczególności oznacza to, że $(0+0i)\cdot (a+bi) = 0+0i = (a+bi)\cdot (0+0i)$ dla dowolnej liczby zespolonej $a+bi$ .

Zbiór wraz z dwoma operacjami podanymi aksjomatami powyżej nazywany jest ciałem. Zbiór $\mathbb{C}$ z dodawaniem i mnożeniem nazywamy ciałem liczb zespolonych.

Zadanie 3 (własność ciała liczb zespolonych)¶

Sprawdź, korzystając z definicji liczb zespolonych, że operacja $\cdot$ jest rozdzielna względem operacji $+$ .

Zbiór liczb zespolonych pozwala nam rozwiązywać większy niż do tej pory zestaw równań algebraicznych. W istocie zachodzi twierdzenie.

Twierdzenie

Każdy wielomian $f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0$ , stopnia $n$ ( $a_n\neq 0$ ) o współczynnikach zespolonych ma dokładnie $n$ pierwiastków w ciele liczb zespolonych. Oznacza to, że równanie $f(x) = 0$ ma $n$ rozwiązań, biorąc pod uwagę, że niektóre rozwiązania mogą być wielokrotne (np. $x^2=0$ ma pierwiastek podwójny w $x=0$ ).

Rozwiążemy równanie kwadratowe w liczbach zespolonych.

x^2+x+1= 0

Postępując zgodnie z metodą uzupełniania (lub wzorami na ,,deltę’'), otrzymamy

x=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}

lub

x=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}.

x=var('x')
solve(x^2+x+1,x)

[x == -1/2*I*sqrt(3) - 1/2, x == 1/2*I*sqrt(3) - 1/2]

Norma i argument liczby zespolonej¶

Liczby zespolone można interpretować geometrycznie jako punkty na płaszczyźnie. Każda liczba zespolona $a+bi$ odpowiada punktowi $(a,b)$ . Odległość euklidesowa punktu $(a,b)$ od $(0,0)$ wynosi $\sqrt{a^2+b^2}$ . Liczbę tę nazywamy normą (długością) liczby zespolonej

|a+bi| = \sqrt{a^2+b^2}

Norma jest multiplikatywna, tzn.

|(a+bi)\cdot (c+di)| = |a+bi|\cdot |c+di|.

a,b,c,d=var('a,b,c,d')

def N(z):
    a,b=list(z)
    return sqrt(a^2+b^2)

def Cmult(a,b,c,d):
    return a*c-b*d,a*d+b*c

N(Cmult(a,b,c,d)).expand()

sqrt(a^2*c^2 + b^2*c^2 + a^2*d^2 + b^2*d^2)

((a^2+b^2)*(c^2+d^2)).expand()

a^2*c^2 + b^2*c^2 + a^2*d^2 + b^2*d^2

Argumentem liczby zespolonej $a+bi\neq 0$ jest kąt w przedziale $(-\pi,\pi]$ , który wyznacza półprosta $(0,0)$ do $(a,b)$ wraz z półprostą poziomą $OX$ . Wyznaczony kąt oznaczamy $arg(a+bi)$ .

Twierdzenie

Dla dwóch niezerowych liczb zespolonych $z_1,z_2$ zachodzi

arg(z_1\cdot z_2) = (arg(z_1)+arg(z_2))\ mod\ (2\pi).

Twierdzenie wynika wprost z formuł na sinus i kosinus sumy kątów.

Zadanie 4 (argumenty)¶

Wyznacz argument liczb zespolonych

$z=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ ,
$z=i$ ,
$z =\frac{1+i}{2}$ ,
$z=1$ ,
$z=-1$ .

Argument $a+bi$ wyznaczamy, obliczając najpierw normę danej liczby zespolonej, a następnie obliczając arkus tangens wartości $b/a$ i uwzględniając sytuację, gdy $a=0$ oraz biorąc pod uwagę właściwy znak. Bardziej kompaktowo (biorąc formułę na podwojenie arkus tangensa)

\operatorname{arg}(x + iy) = \begin{cases} \displaystyle 2 \arctan\left(\frac{\sqrt{x^2 + y^2} - x}{y}\right) &\text{jeśli } y \neq 0, \\ 0 &\text{jeśli } x > 0 \text{ oraz } y = 0, \\ \pi &\text{jeśli } x < 0 \text{ oraz } y = 0, \\ \text{nieokreślony} &\text{jeśli } x = 0 \text{ oraz } y = 0. \end{cases}

#funkcja argumentu jest zaimplementowana standardowo jako atan2(y,x) dla liczby x+iy
atan2(sqrt(3)/2,-1/2)

2/3*pi

atan2(1,0)

1/2*pi

atan2(1/2,1/2)

1/4*pi

atan2(0,1)

0

atan2(0,-1)

pi

Postać trygonometryczna liczby zespolonej¶

Wykorzystując normę oraz argument liczby zespolonej $a+bi$ różnej od 0, możemy ją jednoznacznie zapisać w postaci

a+bi = |a+bi|\cdot (\cos(\alpha)+\sin(\alpha)i)

gdzie $\alpha = \operatorname{arg}(a+bi)$ .

Z własności normy i argumentu wynika tzw. formuła de Moivre’a

(\cos(\alpha)+\sin(\alpha)i)^n = \cos(n\alpha)+\sin(n\alpha)i

dla dowolnej liczby całkowitej $n$ i dowolnego kąta $\alpha$ .

Zadanie 5 (pierwiastki z jedności)¶

Wypisz wszystkie pierwiastki wielomianu $x^n-1$ dla dowolnej liczby naturalnej $n$ .

Wystarczy wykorzystać formułę de Moivre’a i postać trygonometryczną liczby zespolonej.

Zadanie 6 (równanie kwadratowe)¶

Rozwiąż równanie kwadratowe

x^2=3+4i.

Metoda 1

Niech $x=a+bi$ . Wówczas $x^2 = (a^2-b^2)+2ab i$ . Z równania otrzymujemy

a^2-b^2 = 3

oraz

2ab = 4.

Te równania są wystarczające do znalezienia rozwiązań. Możemy jednak uprościć rachunki, dodając warunek wynikający z użycia normy

a^2+b^2 = \sqrt{3^2+4^2}=5.

a,b=var('a,b')
solve([a^2-b^2-3,2*a*b-4,a^2+b^2-5],(a,b))

[[a == 2, b == 1], [a == -2, b == -1]]

W takim razie otrzymaliśmy dwie odpowiedzi: $x=2+i$ lub $x=-2-i$ .

Geometria za pomocą liczb zespolonych¶

Liczby zespolone pozwalają bardzo elegancko zapisywać relacje geometryczne na płaszczyźnie. Np. operacja symetrii względem prostej $OX$ zamienia parę $(a,b)$ na parę $(a,-b)$ . W przypadku liczb zespolonych taką operację nazywamy sprzężeniem

\overline(a+bi) = a-bi.

Poniżej zobaczymy kilka przykładów, jak za pomocą liczb zespolonych można bardzo prosto opisać pewne obiekty geometryczne.

Zadanie 7 (spirala)¶

Połącz liniami punkty $0, i,-2+i, \ldots \sum_{j=0}^{n} j i^j$ .

def spirala(k):
    sp=[]
    v=0
    for n in range(k):
        v+=n*I^n
        sp.append(v)
    return sp

line([x for x in spirala(30)]).show(aspect_ratio=1)

Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Zadanie 8 (parkietaż)¶

Wygeneruj fragment parkietażu płaszczyzny, w którym mamy dwa rodzaje trójkątów równobocznych (czerwone i niebieskie), które stykają się jedną krawędzią i wypełniają w kopiach całą przestrzeń.

Najpierw wygenerujemy wierzchołki trójkąta równobocznego jako rozwiązania równania $x^3=1$ .
Następnie mnożąc uzyskane trzy liczby zespolone przez $i$ , obrócimy wierzchołki o 90 stopni.
W kolejnym kroku przesuwamy trójkę o liczbę przeciwną do punktu $-\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ .
Następnie mnożymy każdą z liczb przez $1/\sqrt{3}$ .
W kolejnym kroku generujemy ze zbioru wierzchołków wierzchołki sprzężone.

Tak wygenerowane trójkąty równoboczne o boku dł. 1 przesuwamy po płaszczyźnie o 1 razy $k$ jednostek oraz o $-1/2+i\sqrt{3}/2$ razy $j$ jednostek.

x=var('x')
solve(x^3-1,x) #oryginalne wierzchołki trójkąta równobocznego

[x == 1/2*I*sqrt(3) - 1/2, x == -1/2*I*sqrt(3) - 1/2, x == 1]

#przekształcenia trójkątów
tr0=[1,1/2*I*sqrt(3) - 1/2,-1/2*I*sqrt(3) - 1/2]
tr1=[x*i for x in tr0]
tr2=[x-(-1/2*sqrt(3) - 1/2*I) for x in tr1]
tr3=[x*1/sqrt(3) for x in tr2]
tr4=[x.conjugate() for x in tr3]

pp=[1,1/2*I*sqrt(3) + 1/2] #przesuniecia w dwóch kierunkach
gra=Graphics()
for k in range(0,10):
    for j in range(0,10):
        gra+=polygon([x+pp[0]*k+pp[1]*j for x in tr3],color='red')
        gra+=polygon([x+pp[0]*k+pp[1]*j for x in tr4],color='blue')
gra.show(aspect_ratio=1)

Graphics object consisting of 200 graphics primitives

gra.show(aspect_ratio=1,xmin=4.2,xmax=9,ymin=0,ymax=6)