24. Wektory - Wstęp do matematyki 06-DPMALI0

Treści kształcenia: Podstawy geometrii analitycznej. Podstawy rachunku wektorów i ich zastosowania. Równania prostych i powierzchni. Równanie prostej - postać kierunkowa i ogólna, warunek równoległości i prostopadłości prostych, odległość dwóch punktów i punktu od prostej, równanie okręgu. Krzywe i powierzchnie zadane parametrycznie.

Efekty kształcenia: Potrafi wykorzystać rachunek wektorowy w odniesieniu do obiektów geometrycznych. Operuje równaniami w opisach geometrycznych.

Podstawy¶

Intuicyjnie mówiąc, wektory to wielkości, które mają pewien “kierunek”. Pojęcie to jest motywowane rozmaitymi problemami fizycznymi i geometrycznymi. Czasami mówimy o wektorach zaczepionych i niezaczepionych. Przyjmujemy, że wektory zaczepione są takie same, jeżeli mają ten sam koniec i początek. Wektory niezaczepione uznajemy natomiast za równe, jeżeli po przesunięciu jednego z nich, będą one miały te same punkty początkowe i końcowe. Przykładowo poniższe wektory są różne jako wektory zaczepione (bo mają inny początek), ale równe jako wektory niezaczepione.

#Rysunek dwóch równych wektorów niezaczepionych. 
v = arrow((0, 0), (1, 2))
w = arrow((3, 0.5), (4, 2.5))
(v+w).show(axes = False)

Graphics object consisting of 2 graphics primitives

W dalszym ciągu będziemy zawsze mówili o wektorach niezaczepionych, jako że są one o wiele ważniejsze w zastosowaniach. Wektory niezaczepione mają trzy podstawowe cechy:

długość,
kierunek,
zwrot (stronę, w którą skierowana jest strzałka).

Do wielkości wektorowych w fizyce należą między innymi: droga, prędkość, przyspieszenie, siła, pęd, ciężar. Wielkościami skalarnymi (tzn. liczbowymi) są natomiast masa, praca, energia, objętość, gęstość i wiele innych.

Współrzędne wektora¶

Niech $A = (x_A, y_A), B = (x_B, y_B)$ będą punktami na płaszczyźnie. Wektor niezaczepiony o początku w punkcie $A$ i końcu w punkcie $B$ oznaczać będziemy przez $\vec{AB}$ . Przesuńmy nasz wektor tak, by jego początkiem był punkt $O = (0, 0)$ . Wtedy jego koniec ma współrzędne $(x_B - x_A, y_B - y_A)$ . Parę tą nazywamy współrzędnymi wektora $\vec{AB}$ . Dwa wektory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy równe są ich współrzędne. Twierdzenie Pitagorasa pozwala na stwierdzenie, że długość wektora $\vec v$ o współrzędnych $(x, y)$ (oznaczana $|\vec v|$ ) wynosi

\sqrt{x^2 + y^2}.

Podobnie, jeżeli $A = (x_A, y_A, z_A)$ i $B = (x_B, y_B, z_B)$ są punktami w przestrzeni, to współrzędnymi wektora $\vec{AB}$ jest trójka $(x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$ . Z tego powodu wektory na płaszczyźnie są często utożsamiane ze zbiorem $\mathbb R^2$ (parami liczb rzeczywistych), zaś wektory w przestrzeni są utożsamiane ze zbiorem $\mathbb R^3$ (trójkami liczb rzeczywistych).

Przykład - współrzędne wektora¶

Jeżeli punkty $A, B$ mają współrzędne $(1, 2, 0)$ , $(3, 2, -1)$ , to wektor $\vec{AB}$ ma współrzędne $(3 - 1, 2 - 2, -1 - 0) = (2, 0, -1)$ .

W Sage’u możemy zdefiniować wektor, używając komendy vector oraz krotki zmiennych.

# Przykład określenia wektora w Sage'u
v = vector((1, 2, 3))

Wektor przeciwny¶

Najprostszą operacją na wektorach jest branie wektora przeciwnego. Wektor przeciwny do $\vec v$ ma tą samą długość i kierunek, ale przeciwny zwrot. Oznaczamy go jako $-\vec v$ . Jeżeli $\vec v = (x, y)$ , to $- \vec v = (-x, -y)$ .

#Rysunek wektora przeciwnego.
v = vector((-2, 3))
w = - v
drawing = plot(v) + plot(w, color = 'red')
drawing += text(r"$\vec{v}$", (v[0], v[1] - 0.5), fontsize = 20)
drawing += text(r"$-\vec{v}$", (w[0], w[1] - 0.5), fontsize = 20, color = "red")
drawing.show()

Graphics object consisting of 4 graphics primitives

# Przykład obliczania wektora przeciwnego w Sage'u
v = vector((1, 2, 3))
print(-v)

(-1, -2, -3)

Dodawanie wektorów¶

W jaki sposób dodać do siebie wektory? Intuicyjnie, wyobraźmy sobie, że dwie osoby ciągną sanki za dwa sznurki. Każda z tych osób ciągnie w trochę innym kierunku. Jak poruszać się będą sanki? Ich droga wypadnie “gdzieś pomiędzy” wektorami wyznaczonymi przez dwa sznurki. Jeżeli narysujemy wektory w układzie współrzędnych i dopełnimy je do równoległoboku, ich suma będzie jedną z przekątnych (tzw. zasada równoległoboku).

# Ilustracja zasady równoległoboku.
v = vector((-2, 3))
w = vector((1, 2))
v_sum_w = v+w
drawing = plot(v) + plot(w) + plot(v_sum_w, color = 'red')
drawing += line([v, v_sum_w], linestyle = "dashed")
drawing += line([w, v_sum_w], linestyle = "dashed")
drawing += text(r"$\vec{v}$", (v[0], v[1] - 0.5), fontsize = 20)
drawing += text(r"$\vec{w}$", (w[0], w[1] - 0.5), fontsize = 20)
drawing += text(r"$\vec{v} + \vec{w}$", (v_sum_w[0]-0.3, v_sum_w[1]), fontsize = 20, color = "red")
drawing.show()

Graphics object consisting of 8 graphics primitives

Jeżeli wektor $\vec v_1$ ma współrzędne $(x_1, y_1)$ , zaś $\vec v_2$ współrzędne $(x_2, y_2)$ , to $\vec v_1 + \vec v_2 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ . Analogiczny wzór zachodzi dla wektorów w przestrzeni.

Przykład - współrzędne sumy¶

Jeżeli $\vec v_1 = (1, 2, 3)$ , zaś $\vec v_2 = (-2, 4, 7)$ , to $\vec v_1 + \vec v_2 = (-1, 6, 10)$ .

#Przykład dodawania wektorów w Sage'u
v1 = vector((1, 2, 3))
v2 = vector((-2, 4, 7))
print(v1 + v2)

(-1, 6, 10)

Przykład - suma kilku wektorów¶

Jeżeli $X$ , $Y$ , $Z$ są dowolnymi punktami, to $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$ . Przykładowo na poniższym rysunku, sumą wektorów $\vec{AB}$ , $\vec{BC}$ , $\vec{CD}$ , $\vec{DE}$ jest wektor $\vec{AE}$ .

# Ilustracja - suma kilku wektorów.
P = [(0, 0), (1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 1)]
opisy = ["A", "B", "C", "D", "E"]
draw = text("", (0, 0))
for i in range(len(P) - 1):
    draw += text(opisy[i], P[i], fontsize = 15, color = 'black')
    draw += arrow(P[i], P[i+1]).plot()
    
draw += arrow(P[0], P[-1], color = "red").plot()
draw.show(axes = False)

Graphics object consisting of 10 graphics primitives

Zauważmy, że odejmowanie wektora to po prostu dodawanie wektora przeciwnego. Współrzędne różnicy są różnicami współrzędnych.

Przykład - odejmowanie wektorów¶

(1, 2, 3) - (2, -1, 4) = (1 - 2, 2 - (-1), 3 - 4) = (-1, 3, -1).

# Przykład odejmowania wektora w Sage'u
v1 = vector((1, 2, 3))
v2 = vector((2, -1, 4))
print(v1 - v2)

(-1, 3, -1)

Mnożenie wektora przez skalar¶

Wynikiem mnożenia wektora $\vec v$ przez skalar (liczbę) $a \in \mathbb R$ jest inny wektor. Wektor ten ma ten sam kierunek, ale jest “ $a$ -krotnie dłuższy”, zaś jego zwrot zależy od znaku liczby $a$ . Jeżeli $\vec v = (x, y)$ , to współrzędne wektora $a \cdot \vec v$ to $(a \cdot x, a \cdot y)$ .

# Ilustracja - mnożenie wektora przez skalar dodatni.
v = vector((1, 2))
v1 = 2*v
plot(v1, color = "red") + plot(v) + text(r"$\vec v$", tuple(v + vector((0.05, 0))), fontsize = 30) + text(r"$2 \cdot \vec v$", tuple(v1 + vector((0.2, 0))), fontsize = 30, color = "red")

# Ilustracja - mnożenie wektora przez skalar ujemny.
v = vector((1, 2))
v1 = -2*v
plot(v1, color = "red") + plot(v) + text(r"$\vec v$", tuple(v + vector((0.05, 0))), fontsize = 30) + text(r"$-2 \cdot \vec v$", tuple(v1 + vector((0.2, -0.1))), fontsize = 30, color = "red")

# Przykład mnożenia przez skalar w Sage'u
v = vector((1, 2, 3))
print(-2*v)

(-2, -4, -6)

Przykład (wzór na siłę)¶

Wynikiem mnożenia wektora przyspieszenia $\vec a$ przez masę (wartość skalarną) jest wektor siły $\vec F$ :

\vec F = m \cdot \vec a.

Przykład - równoległobok¶

Niech $A = (1, 3)$ , $B = (2, 4)$ , $C = (3, 2)$ .

(a) Znajdź punkt $D$ taki, by czworokąt ABCD był równoległobokiem.

(b) Wyznacz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego równoległoboku.

Rozwiązanie:

(a) Niech $D = (x, y)$ . Boki AB oraz DC są równoległe i mają tą samą długość, zatem $(1, 1) = \vec{AB} = \vec{DC} = (3 - x, 2 - y)$ . Dostajemy zatem $x = 2$ , $y = 1$ .

(b) Oznaczmy ten punkt przez $S$ . Punkt ten jest środkiem przekątnej BD, zatem $\vec{BS} = \frac{1}{2} \vec{BD} = \frac 12 (0, -3) = (0, -\frac{3}{2})$ . Niech $O = (0, 0)$ . Zauważmy, że $S$ ma takie same współrzędne, co wektor $\vec{OS}$ , czyli:

\vec{OS} = \vec{OB} + \vec{BS} = (2, 4) + (0, -\frac{3}{2}) = (2, \frac 5 2).

# Narysujmy punkty A, B, C, D, S.
A = point((1, 3), size = 50)
B = point((2, 4), size = 50)
C = point((3, 2), size = 50)
D = point((2, 1), size = 50)
S = point((2, 5/2), size = 50, color = "red")
(A+B+C+D+S).plot()

Graphics object consisting of 5 graphics primitives

Mnożenie skalarne wektorów¶

Wektory można również mnożyć przez siebie, ale wynikiem nie będzie inny wektor a liczba. Motywacja pochodzi z fizyki. Wyobraźmy sobie, że ciągniemy sanki za sznurek (patrz rysunek poniżej). Praca, jaką wykonujemy, jest równa iloczynowi przemieszczenia sanek przez siłę. We wzorze tym “liczy się” jednak jedynie siła $F_x$ , z jaką ciągnęliśmy sanki równolegle do podłoża. Iloczyn $F_x$ oraz przemieszczenia to iloczyn skalarny wektorów $\vec F$ i $\vec s$ .

# Ilustracja do motywacji fizycznej.
obrazek = polygon([(0, 0), (1, 0), (1, 0.5), (0, 0.5)], fill = False)
obrazek += arrow((1, 0.5), (2, 2), color = "red")
obrazek += text(r"$\vec F$", (1.6, 1.6), color = "red", fontsize = 20)
obrazek += arrow((1, 0.5), (2, 0.5), color = "red")
obrazek += text(r"$\vec F_x$", (1.6, 0.8), color = "red", fontsize = 20)
obrazek += arrow((1, 0.3), (1.5, 0.3))
obrazek += text(r"$\vec s$", (1.6, 0.2), fontsize = 20)
obrazek += text(r"$W = |\vec F_x| \cdot |\vec s| = \vec F \circ \vec s$", (6, 1), fontsize = 20)
obrazek.show(axes = False)

Iloczyn skalarny $\vec v$ oraz $\vec w$ oznaczamy przez $\vec v \circ \vec w$ . Iloczynem wektorów $(x_1, y_1)$ oraz $(x_2, y_2)$ jest liczba $x_1 x_2 + y_1 y_2$ . Iloczyn skalarny można obliczyć również z następującego wzoru:

\vec v \circ \vec w = |\vec v| \cdot |\vec w| \cdot \cos \sphericalangle (\vec v, \vec w),

gdzie $\sphericalangle (\vec v, \vec w)$ oznacza miarę kąta między wektorami $\vec v$ oraz $\vec w$ .

Spróbujmy zrozumieć, jak działa iloczyn skalarny, zakładając, że kąt między wektorami jest w przedziale $[0^{\circ}, 90^{\circ}]$ .

#Kod apletu, pokazującego wartości iloczynu skalarnego dla zmieniającego się kąta.
def iloczyn_skalarny(alpha):
    alpha *= (pi/180).n()
    v = vector((1, 1))
    R = matrix(2,2,[cos(alpha),-sin(alpha),sin(alpha),cos(alpha)])
    w = R*vector((2, 2))
    drawing = plot(v, color = 'red') + plot(w) + text(r"$\vec v \circ \vec w = $"+str((v*w).n(4)), (-3, 2.5), fontsize = 15) + text(r"$\alpha = $"+str(int(180/pi*alpha)) + r"${}^{\circ}$", (-3, 3), fontsize = 15)
    drawing += text("(" + str(w[0].n(3)) + ", "+ str(w[1].n(3)) + ")", (w[0], w[1])) + text(str(v), (v[0], v[1]), color = 'red')
    return drawing
    
@interact
def _(alpha = slider(0, 360)):
    iloczyn_skalarny(alpha).show(xmin = -3, xmax = 3, ymin = -3, ymax = 3)
    
aplet = [iloczyn_skalarny(alpha) for alpha in [0, 45, 70, 80, 88, 90]]

# Wersja statyczna powyższego apletu.
g1=graphics_array(aplet,ncols=3)
g1.show(figsize=[10,10], aspect_ratio = 1)

Widzimy, że iloczyn skalarny jest największy, gdy wektory mają ten sam kierunek (kąt = $0^{\circ}$ ) i zmniejsza się, gdy kąt zbliża się do $90^{\circ}$ . Jest to zgodne z interpretacją fizyczną podaną powyżej. W szczególności:

$\vec v \circ \vec v = |\vec v|^2$ ,
wektory $\vec v$ i $\vec w$ są do siebie prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $\vec v \circ \vec w = 0$ .

# Przykład mnożenia skalarnego w Sage'u
v = vector((1, 2, 3))
w = vector((-1, 4, 0))
print(v*w)

Przykład - normowanie wektora¶

Niech $\vec v = (1, 2, 3)$ . Znajdź wektor o tym samym kierunku i zwrocie, co $\vec v$ , ale o długości 1. (Mówimy, że normujemy wektor $\vec v$ , zastępując go znalezionym w ten sposób wektorem)

Rozwiązanie: ponieważ wektor ten ma ten sam zwrot i kierunek, musi być on postaci $c \cdot \vec v$ dla pewnego $c \in \mathbb R$ , $c > 0$ . Policzmy długość takiego wektora:

1 = |c \cdot \vec v| = c \cdot |\vec v| \Rightarrow c = \frac{1}{|\vec v|} = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{1}{\sqrt{14}}.

Stąd szukany wektor to $(\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}) = (\frac{\sqrt{14}}{14}, \frac{\sqrt{14}}{7}, \frac{3\sqrt{14}}{14})$ .

# Przykład normowania wektorów w Sage'u.
v = vector((1, 2, 3))
print(v.normalized())
plot(v) + plot(v.normalized(), color = "red")

(1/14*sqrt(14), 1/7*sqrt(14), 3/14*sqrt(14))

Loading...

# Przykład normowania wektorów w Sage'u.
v = vector((1, 2, 3))
print(v.normalized())
graphics = plot(v) + plot(v.normalized(), color = "red")
graphics = graphics.rotate((0, 0, 1), pi/2)
graphics.show(viewer = 'tachyon')

(1/14*sqrt(14), 1/7*sqrt(14), 3/14*sqrt(14))

Przykład -- czy dany czworokąt jest kwadratem?¶

Czy czworokąt o wierzchołkach $A = (-3, 5, 6)$ , $B = (1, -5, 7)$ , $C=(8, -3, -1)$ i $D=(4, 7, -2)$ jest kwadratem?

Wskazówka: Punkty A, B, C, D możemy utożsamiać z wektorami $\vec{OA}$ , $\vec{OB}$ , $\vec{OC}$ , $\vec{OD}$ , gdzie O = (0, 0, 0).

# Rozwiązanie zadania za pomocą Sage'a - ręczne rozwiązanie wygląda tak samo.
# Punkty OA, OB, OC, OD możemy utożsamiać z wektorami A, B, C, D, gdzie O = (0, 0, 0).
A = (-3, 5, 6)
B = (1, -5, 7)
C = (8, -3, -1)
D = (4, 7, -2)

#Liczymy boki czworokąta (jako wektory).
AB = vector(B) - vector(A)
BC = vector(C) - vector(B)
CD = vector(D) - vector(C)
DA = vector(A) - vector(D)

#Sprawdzamy, czy są prostopadłe
print(AB*BC == 0)
print(BC*CD == 0)
print(CD*DA == 0)
print(DA*AB == 0)
#Sprawdzamy, czy AB i BC mają tą samą długość
print(AB * AB == BC * BC)

True
True
True
True
True

# GRAFIKA 3D
# Narysujmy punkty w przestrzeni.
A = (-3, 5, 6)
B = (1, -5, 7)
C = (8, -3, -1)
D = (4, 7, -2)

A = point3d(A, size = 80)
B = point3d(B, size = 80)
C = point3d(C, size = 80)
D = point3d(D, size = 80)

draw = Graphics()
draw = A + B + C + D
draw.show(xmin = -10, xmax = 10, ymin = -10, ymax = 10, zmin = -10, zmax = 10)

Loading...

# GRAFIKA 3D - wersja statyczna
# Narysujmy punkty w przestrzeni.
A = (-3, 5, 6)
B = (1, -5, 7)
C = (8, -3, -1)
D = (4, 7, -2)

A = point3d(A, size = 20)
B = point3d(B, size = 20)
C = point3d(C, size = 20)
D = point3d(D, size = 20)

draw = Graphics()
draw = A + B + C + D
draw.show(xmin = -10, xmax = 10, ymin = -10, ymax = 10, zmin = -10, zmax = 10, viewer = 'tachyon')

Przykład - obrót punktu¶

O jaki kąt należy obrócić punkt $P = (2, 9)$ wokół punktu $Q = (1, 2)$ , aby uzyskać punkt $R = (6, 7)$ ?

Rozwiązanie:¶

Chcemy znaleźć kąt między wektorami $\vec{QP} = (1, 7)$ oraz $\vec{QR} = (5, 5)$ . Mamy:

\cos \sphericalangle (\vec{QP}, \vec{QR}) = \frac{\vec{QP} \circ \vec{QR}}{|\vec{QP}| \cdot |\vec{QR}|} = \frac{5 + 35}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{50}} = \frac{4}{5}.

Aby znaleźć kąt, mając podany cosinus, korzystamy z funkcji arccos.

# Obliczenie kątów o zadanym cosinusie.
alpha = acos(4/5)
alpha = acos(4/5) * 180/pi
print(alpha.n())
print(360 - alpha.n())

36.8698976458440
323.130102354156

#aplet sprawdzający poprawność naszego rozumowania

def obrot_punktu(alpha):
    alpha *= (pi/180).n()
    v = arrow((1, 2), (6, 7), color = "red")
    R = matrix(2,2,[cos(alpha),-sin(alpha),sin(alpha),cos(alpha)])
    w = R*vector((1, 7))
    w = w + vector((1, 2))
    w = arrow((1, 2), (w[0], w[1]))
    drawing = plot(v) + plot(w)
    return drawing
    
@interact
def _(alpha = slider(0, 360)):
    obrot_punktu(alpha).show(xmin = -10, xmax = 10, ymin = -10, ymax = 10)
    
aplet = [obrot_punktu(alpha) + text(str(alpha)+r"$^{\circ}$", (2, 5)) for alpha in [0, 36, 323]]

# Wersja statyczna powyższego apletu.
g1=graphics_array(aplet,ncols=3)
g1.show(figsize=[10,10], aspect_ratio = 1)

Przykład¶

Dwa sześciany mają wspólną jedną ze ścian. Wykaż, że przekątna główna jednego z tych sześcianów jest prostopadła do przekątnej ściany bocznej drugiego sześcianu (patrz grafika poniżej).

# GRAFIKA 3D
# Ilustracja do zadania.
from sage.plot.plot3d.shapes import ColorCube
c = ColorCube([0.5,0.5,0.5], ['red', 'blue', 'green', 'black', 'white', 'orange'], opacity=0.5)
c1 = ColorCube([0.5,0.5,0.5], ['red', 'blue', 'green', 'black', 'white', 'orange'], opacity=0.5)
c = c.translate([0.5, 0.5, 0.5])
c1 = c1.translate([-.5, 0.5, 0.5])
c += arrow3d((0,0,0), (-1,0,1), color="yellow")
c += arrow3d((0,0,0), (1,1,1), color="red")
c += c1
c.show()
#Wersja statyczna
c.show(viewer='tachyon', aspect_ratio = 1)

Loading...

Umieśćmy sześciany w układzie współrzędnych tak, by jeden z nich miał wierzchołki A, B, C, D, E, F, G, H, zaś drugi - E, F, G, H, I, J, K, L, gdzie:

A = (0, 0, 0), \quad B = (0, 0, 1), \quad C = (0, 1, 1), \quad D = (0, 1, 0),

E = (1, 0, 0), \quad F = (1, 0, 1), \quad G = (1, 1, 1), \quad H = (1, 1, 0),

I = (2, 0, 0), \quad J = (2, 0, 1), \quad K = (2, 1, 1), \quad L = (2, 1, 0).

Wtedy przekątna główna pierwszego z nich to $\vec{HB} = (-1, -1, 1)$ , zaś przekątna ściany drugiego to $\vec{HK} = (1, 0, 1)$ , zatem:

\vec{HB} \circ \vec{HK} = -1 + 0 + 1 = 0.

Z własności iloczynu skalarnego wynika, że są one do siebie prostopadłe.

Iloczyn wektorowy¶

Na sam koniec omówimy iloczyn wektorowy. Wynikiem mnożenia wektorowego dwóch wektorów $\vec v$ oraz $\vec w$ jest wektor $\vec v \times \vec w$ prostopadły do nich obu o długości:

|\vec v \times \vec w| = |\vec v| \cdot |\vec w| \cdot \sin \sphericalangle(\vec v, \vec w).

Jego współrzędne dane są wzorami:

(v_y w_z - v_z w_y, v_z w_x - v_x w_z, v_x w_y - v_y w_x).

Wzór ten można zapamiętać jako “wyznacznik”:

\left| \begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ v_x & v_y & v_z\\ w_x & w_y & w_z \end{matrix} \right|,

gdzie $\vec i = (1, 0, 0)$ , $\vec j = (0, 1, 0)$ , $\vec k = (0, 0, 1)$ .

Uwaga: iloczyn wektorowy jest antyprzemienny, tzn. $\vec v \times \vec w = -\vec w \times \vec v$ .

Przykład - wektor prostopadły do dwóch zadanych¶

Znajdź wektor długości 1 prostopadły do wektorów $\vec v_1 = (1, 2, -3)$ oraz $\vec v_2 = (2, 0, 1)$ .

# Rozwiązanie zadania w Sage'u
v1 = vector((1, 2, -3))
v2 = vector((2, 0, 1))
w = v1.cross_product(v2)
w1 = 1/(w.norm())*w
print(w1)

(2/69*sqrt(69), -7/69*sqrt(69), -4/69*sqrt(69))

Zadania dodatkowe¶

Zadanie nr 1¶

Niech $A = (-1, 2, 3)$ , $B = (2, 0, 2)$ , $C = (-2, 3, 0)$ .

(a) Znajdź punkt $D$ taki, by czworokąt ABCD był równoległobokiem.

(b) Wyznacz współrzędne punktu $S$ , który leży na przekątnej $BD$ i spełnia: $|BS| = 2 |SD|$ .

Zadanie nr 2¶

Wyznacz kąt między przekątnymi sześcianu.

Zadanie nr 3¶

Punkty $A = (-2, -3, 1)$ , $B = (1, 0, 2)$ oraz $C = (-4, -3, 0)$ są wierzchołkami trójkąta ABC. Obliczyć pole tego trójkąta.

Wskazówka: skorzystaj ze wzoru $P_{ABC} = \frac 12 |AB| \cdot |AC| \cdot \sin \sphericalangle (AB, AC)$ oraz z iloczynu wektorowego.